Физика. Электромагнетизм

Москва  2022

М ИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ 

 

Кафедра физики

Н.Ю. Обвинцева

ФИЗИКА. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2.14.  
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ СОЛЕНОИДА

Лабораторный практикум 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 4753

УДК 537.0-13 612.2 
 
0-13

Р е ц е н з е н т 

д-р техн. наук, проф. И.В. Ушаков

Обвинцева, Нина Юрьевна.

0-13  
Физика. Электромагнетизм : Лабораторная работа 
2.14. Магнитное поле соленоида : лаб. практикум / 
Н.Ю. Обвинцева. – Москва : Издательский Дом НИТУ 
«МИСиС», 2022. – 18 с.

Лабораторный практикум предназначен для подготовки к выполнению 
работы «Магнитное поле соленоида». Описание лабораторной 
работы включает теоретическое введение, схему и принцип 
работы экспериментальной установки, порядок выполнения эксперимента 
и указания к обработке полученных результатов. 

Практикум предназначен для обучающихся на кафедре физики 

по всем направлениям подготовки.

УДК 537.0-13 612.2

 Н.Ю. Обвинцева, 2022
 НИТУ «МИСиС», 2022

СОДЕРЖАНИЕ

Лабораторная работа 2.14 
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ СОЛЕНОИДА ...................................4

Контрольные вопросы ....................................................16

Библиографический список ............................................17

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2.14 

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ СОЛЕНОИДА

2.14.1. Цель работы

Целью работы является изучение распределения индукции 

магнитного поля вдоль оси соленоида и сопоставление полученных 
экспериментальных данных с результатами теоретических 
расчетов.

2.14.2. Теоретическое введение

Электромагнитная катушка представляет собой изолированный 
проводник, намотанный в виде спирали на каркас или 
сердечник. Электрический ток, протекающий по этому проводнику, 
создает вокруг катушки магнитное поле. Цилиндрическая 
катушка, состоящая из большого числа витков проводника, 
равномерно навитых в одном направлении, при условии, 
что ее длина значительно больше радиуса витков, называется 
соленоидом. При подаче постоянного тока I на обмотку, вну-
три соленоида формируется практически однородное магнитное 
поле (рис. 2.14.1), т.е. поле, направление и значение модуля 
вектора магнитной индукции 
B


 которого постоянны. 

Силовые линии магнитного поля 
B


 всегда замкнуты. 

Рис. 2.14.1. Магнитное поле соленоида

Если витки соленоида расположены вплотную друг к другу, 

то его можно рассматривать как систему последовательных 
круговых токов одинакового радиуса, имеющих общую ось. 
Тогда полное магнитное поле соленоида можно представить 

как результат сложения полей, создаваемых круговыми токами 
по отдельности. Силовые линии магнитного поля кругового 
витка с током показаны на рис. 2.14.2. Прежде чем описать 
магнитное поле соленоида, сначала определим магнитное поле 
на оси одного кругового витка с током. 

Рис. 2.14.2. Распределение силовых линий магнитного поля 

кругового витка с током в плоскости его оси симметрии

Магнитное поле на оси кругового тока

Рассмотрим круговой виток радиусом R, по которому течет 

ток силой I. Определим индукцию магнитного поля B



 в произвольной 
точке М на оси OZ (рис. 2.14.3). Для решения поставленной 
задачи воспользуемся принципом суперпозиции, 
согласно которому магнитное поле любого тока может быть 
найдено как суперпозиция полей, создаваемых отдельными 

элементарными участками тока: 
d .

l

B
B
=∫
 Для этого разобьем 

кольцо на элементарные участки dl, по которым течет ток I 
(см. рис. 2.14.3). По закону Био – Савара – Лапласа каждый 
элемент тока Idl создает в точке М магнитное поле с вектором 
индукции dB


: 

 

0
3
d
d
,
4

I l
r
B

r

µµ
×
=
π





 
(2.14.1)

или в скалярной форме:

 
0
2
d
d
sin ,
4

I l
B

r
µµ
=
α
π
 
(2.14.2)

где α – угол между векторами dl



 и ;
r  
7
0
4
10
−
µ = π⋅
 Гн/м – маг-

нитная постоянная. 

Рис. 2.14.3. Магнитное поле на оси витка с током

Направление векторов dB


 по закону Био – Савара – Лапла-

са определяется векторным произведением dl
r
×


 , т.е. векто-

ры dB


 перпендикулярны плоскостям, проходящим через со-

ответствующие векторы dl



 и ,
r  и направлены по образующей 

конуса («веером») вокруг оси симметрии кольца с вершиной в 
точке М (см. рис. 2.14.3). Каждый из векторов dB


 разложим 

на две составляющие: перпендикулярную оси OZ – d
,
x
B


 и на-

правленную вдоль оси OZ – d
z
B


. Из соображений симметрии 

следует, что составляющие, перпендикулярные оси OZ  и 
создаваемые диаметрально противоположными элементами 
токов, взаимно уничтожаются. Следовательно, результиру-
ющий вектор магнитной индукции B


 в точке М направлен 

вдоль оси кругового тока и определяется выражением 

d
,
z

l
B
B
= ∫
 
(2.14.3)

где 
2
l
R
= π
 – длина кольца.

Из рис. 2.14.3 следует, что 

2
2
d
d cos ; cos
/ ; .
z
B
B
R r
r
R
z
=
β
β =
=
+

Тогда в соответствии с законом Био – Савара – Лапласа 

(2.14.2) можно записать: 

 
0
2
d
d
cos
4
z
I l
B

r
µµ
=
β
π
 
(2.14.4)

здесь учтено, что угол между векторами dl

  и r  – прямой, и 

sin
1.
α =
Подставим соотношение (2.14.4) в выражение (2.14.3) и, 

проинтегрировав полученное соотношение по всей длине коль-
ца l, получим выражение для индукции магнитного поля на 
оси кругового тока на расстоянии z от его центра: 

 

(
)

2
2
2
0
0
3
3
2
2
0
0
2
d
d
.
4
2

R
R

z
IR
IR
B
B
l
r
R
z

π
π
µµ
µµ
=
=
=
π
+
∫
∫
 
(2.14.5)

В частности, из выражения (2.14.5) следует, что индукция 

магнитного поля в центре витка с током при z = 0 определяет-
ся следующим образом: 

0
ц
.
2
I
B
R
µµ
=

Магнитное поле на оси короткой катушки

Определим магнитное поле цилиндрической короткой ка-

тушки, состоящей из N витков одинакового радиуса, диаметр 
которой больше ее длины: L < 2R (рис. 2.14.4). Вследствие осе-

вой симметрии и в соответствии с принципом суперпозиции 
магнитное поле такой катушки на оси равно векторной сумме 

полей, создаваемых каждым витком: 

1
.

N

i
i
B
B

=
=∑



 Тогда, исполь-

зуя выражение (2.14.5), запишем соотношение для индукции 
магнитного поля короткой катушки в произвольной точке М 
на оси OZ в следующем виде: 

 

(
)

2
0
к
3
2
2 2
.
2
IR
B
N

R
z

µµ
=

+

 
(2.14.6)

Для соотношения (2.14.6) принято, что начало координат O 

находится в центре катушки, z – расстояние от центра катуш-
ки до точки М на оси OZ. 

Если принять, что начало координат О находится за преде-

лами катушки, на расстоянии a от ее центра (см. рис. 2.14.4), 
то выражение для индукции магнитного поля будет иметь сле-
дующий вид: 

(
)
(
)

2
0
к
3
2
2
2
,
2
IR
B
N

R
a
z

µµ
=

+
−

где z – координата точки М, в которой требуется определить 

значение индукции магнитного поля. 

Из выражения (2.14.6) следует, что максимальное значение 

магнитной индукции будет в центре катушки: 

 

max
0
к
.
2
NI
B
R

µµ
=

 

При смещении от центра катушки магнитная индукция Вк 

быстро убывает практически до нулевого значения в точках, 
отстоящих от катушки на расстоянии порядка ее длины. 

Рис. 2.14.4. Магнитное поле короткой катушки 

Магнитное поле конечного соленоида

 Длинную цилиндрическую катушку называют соленоидом, 
если выполняется соотношение 
2
L
R
>
, где L – длина 

соленоида. Магнитное поле внутри соленоида однородно и 
направлено параллельно его оси. Однородность поля нарушается 
по краям. Примерная картина силовых линий соленоида 
показана на рис. 2.14.1. Для определения направления линий 
индукции магнитного поля внутри соленоида применяют правило 
правой руки: если направление четырех пальцев правой 
руки совпадает с направлением тока в витках соленоида, то 
направление большого пальца показывает направление линий 
магнитной индукции внутри соленоида. Вне соленоида магнитное 
поле также направлено параллельно его оси и быстро 
убывает с увеличением расстояния от его концов. 

Магнитное поле на оси соленоида в зависимости от координаты 
z можно рассчитать следующим образом. Пусть соленоид 
имеет длину L и содержит N витков, тогда n = N/L – число 
витков, приходящихся на единицу длины. На рис. 2.14.5 по-

казано сечение соленоида – кружки с точками представляют 
собой сечения витков радиусом R, в которых ток направлен 
из-за чертежа к нам, кружки с крестами – сечения витков, в 
которых ток направлен от нас. Выделим бесконечно малый 
участок длины соленоида dz, число витков на нем равно ndz, 
и будем этот элемент рассматривать как элементарный круговой 
ток dI = Indz, где I – сила тока. Индукция магнитного 
поля, создаваемая этим круговым током в точке М на оси соленоида, 
в соответствии с выражением (2.14.5) определяется 
следующим образом:

Рис. 2.14.5. Сечение соленоида

Рис. 2.14.6. Изменение магнитного поля вдоль оси соленоида

 

(
)

2
0
3
2
2 2

d
d
,
2
IR n z
B

R
z

µµ
=

+

 
(2.14.7)

где z – расстояние вдоль оси соленоида от участка dz до точки 
М.

Чтобы рассчитать магнитное поле, создаваемое соленоидом 
в точке М, нужно просуммировать dB, создаваемые всеми 
участками dz соленоида, т.е. проинтегрировать выражение 
(2.14.7) по всем элементам длины dz. Однако проще провести 
интегрирование, перейдя к переменной β. Введем угол β 
между положительным направлением оси соленоида, которое 
определяется в соответствии с направлением тока в соленоиде 
по правилу буравчика, и радиус-вектором, проведенным из 
рассматриваемой точки к участку dz. Из рис. 2.14.5 следует, 

что 
2
2,
r
R
z
=
+
 
(
)
sin d
/
b r
β =
, а значит, 
d
b
r
≈
β  и 
d
sin .
b
z
=
⋅
β  

Из этих соотношений выразим dz в следующем виде: 

 

2
2
d
d
d
.
sin
sin
r
R
z
z
β
+
β
=
=
β
β

Подставим полученное соотношение в выражение (2.14.7), 

чтобы получить соотношение для магнитного поля, создаваемого 
участком dz в точке М: 

 

(
)

2
2
2
0
3
2
2 2

d
d
2
·sin

IR n
R
z
B

R
z

µµ
+
β
=
⋅

+
β

. 
(2.14.8) 

В выражение (2.14.8) подставим 
/tg
z
R
=
β  (см. рис. 2.14.5) 

и проведем следующие преобразования: 

2
0
0

2

1
d
sin
d
d
d
1
2
sin
2
sin
1
tg

In
In
B
B





µµ
µµ
β
β β


=
⋅
⇒
=
⋅
⇒
β
β


+


β


 

0
d
sin d .
2
In
B
µµ
⇒
=
β β

Проинтегрируем последнее выражение по углу, соответствующему 
длине соленоида (см. рис. 2.14.5), т.е. от β1 до β2: