Высшая математика. Дифференциальные уравнения


Национальный исследовательский университет МЭИ


Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова




А.А. Туганбаев




ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Дифференциальные уравнения



Учебник















Москва Издательство «ФЛИНТА» 2021

УДК 517.9(076.2)
ББК 22.161.1я73
      Т81










   Туганбаев А.А.
  Т81 Высшая математика. Дифференциальные уравнения [Электронный ресурс] : учебник / А.А. Туганбаев. — Москва : ФЛИНТА, 2021. — 152 с.

       ISBN 978-5-9765-4519-9

       Книга соответствует программам курсов высшей математики для студентов различных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий по важнейшему разделу высшей математики: дифференциальные уравнения.
       Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших учебных заведений.
УДК 517.9(076.2)
ББК 22.161.1я73





ISBN 978-5-9765-4519-9

   © Туганбаев А.А., 2021
© Издательство «ФЛИНТА», 2021

Оглавление


Введение..........................................5

I. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА......................7
1. Общие сведения об уравнениях первого порядка...7
2. Уравнения с разделяющимися переменными........13
3. Сведение к уравнениям с разделяющимися переменными.....................20
4. Линейные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.............................25
5. Полные дифференциалы и интегрирующие множители.30

II. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА....................36
6. Общие сведения об уравнениях второго порядка..36
7. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка....................40
8. Общие сведения о линейных уравнениях второго порядка...................................45
9. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами......................58
10. Уравнения y’’ + py’ + qy = f(x), где f(x) — квазимногочлен и p, q, y e R.....................62
11. Уравнения Эйлера второго порядка.............68

III. УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА n > 3. СИСТЕМЫ. УСТОЙЧИВОСТЬ.....................................72
12. Общие сведения об уравнениях порядка n > 3...72
13. Линейные уравнения произвольного порядка.....78
14. Линейные уравнения порядка n с постоянными коэффициентами.....................83
15. Системы уравнений............................92
16. Устойчивость решений......................... 102

IV. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ........................110
17. Операционный метод решения дифференциальных уравнений.................. 110
18. Контрольные задания..................... 133
19. Справочный материал..................... 146

            Введение


Уравнение, в котором неизвестная функция от одной переменной входит под знак производной плп дифференциала, называется (обыкновенным) дифференциальным уравнением плп, для краткости, д.у.
Порядком д.у. называется максимальный порядок входящей в пего производной плп дифференциала неизвестной функции.
Например, движение материальной точки M постоянной массы m по осп Ox под действием внешней силы F(t,x,x'ₜ) описывается уравнением второго порядка mx''ₜₜ = F(t,x,x'ₜ), где x (t) - абецпеса точки M в момент времени t. Уравнение mx"ₜₜ = F(t, x,xt) является математическим выражением второго закона Ньютона в физике.
Решением на (конечном или бесконечном) интервале (a,b) (или отрезке [a,b], или над одном из полуинтервалов [a,b), (a,b]) уравнения
F(x,y,y',... ,y⁽ⁿ)) = 0 порядка n называется любая такая n раз дифференцируемая на (a,b) (или отрезке [a,b]) функция у = f (x), что
F(x, у(x), у'(x),..., у⁽ⁿ)(x)) = 0 для всех x Е (a, b); т.е. функция у = f (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
График решения у = ф(x) уравнения F(x, у, у',..., у⁽ⁿ)) = 0 называется интегральной кривой этого уравнения.
Например, проверим, что функция у = C/x, C Е R, является решением уравнения у' = -у/x. Действительно, подставляем выражения у = C/x и у' = (C/x)' = -C/x² в уравнение у' = -у/x и получаем тождество -C/x² = — (C/x)/x. При C = 0 интегральными кривыми этого уравнения являются гиперболы у = C/x, а при C = 0 интегральной кривой является прямая у = 0.

5

Решить дифференциальное уравнение - значит паптп все его решения.
Например, если имеется д.у. dy = x,xody = xdx, f dy = f xdx, y = x²/2 + C - формула всех решений этого д.у. первого порядка, опа содержит одну произвольную постоянную.
Решение дифференциальных уравнений связано с интегрированием, поэтому иногда вместо "решить дифференциальное уравнение"говорят "проинтегрировать дифференциальное уравнение".
Общее решение дифференциального уравнения порядка n - это решение данного уравнения, содержащее n независимых произвольных постоянных. Оно имеет вид у = Ф(x,C 1,..., Cₙ). Общее решение - семейство интегральных кривых.
Иногда общее решение д.у. по выражается в явном виде, разрешенном относительно искомой функции. В этом случае вводится понятие общего интеграла.
Общий интеграл д.у. порядка n - уравнение, получающееся при пптсгрпроваппп дифференциального уравнения, по содержащее производных и дифференциалов искомой функции, а содержащее n независимых произвольных постоянных. Он имеет вид Ф(x, C 1,..., Cₙ) = 0.
Частные решения (соотв., частные интегралы) дифференциального уравнения - это решения (интегралы), получающиеся из общего (соотв., частного) решения (соотв., интеграла) при конкретных значениях произвольных постоянных. Чтобы выделить частное решение из общего решения (т.с. определить конкретные значения произвольных постоянных) задаются начальные пли граничные условия.

6

I УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА




            1  Общие сведения об уравнениях первого порядка



1.1. Начальные понятия. В этом разделе мы чаще всего

рассмотрим уравнения первого порядка y' = f (x, у), разрешенные относительно у', где x - независимая переменная н

у = у(x) - неизвестная функция. Это уравнение можно запи-

сать в дифференциальной форме М(x, у)dx + N(x, у)dy = 0,


М^Улу) N (т,у)

обозначая f(x, у) =

(обе формы равноправны).


Д.у. первого порядка можно задать в виде:


F(x, у, у') = 0 - уравнение общего вида;

у' = f (x, у) - уравнение, разрешенное относительно производной;

P(x, у)dx + Q(x, у)dy = 0 - уравнение в дифференциалах.

Областью определения уравнения у' = f (x, у) называется множество D всех пар (x; у), для которых может быть вычислена функция f (x, у).

Функция у = у(x) называется решением уравнения у' = f (x, у) на интервале (a,b), если (x; у(x)) G D для всех x G (a,b), функцпя у = у(x) дифференцируема на (a,b) н у' = f (x, у(x)) для всех x G (a, b). Вместо решений на интервале (a, b) также могут рассматриваться решения на отрезке [a, b] или полуинтервалах (a, b] или [a, b)]. Не исключаются случаи a = —ж 11 b = + то. Например, функция у = x² является решением уравнения у' = 2/у на промежутке [0, + то).


7

1.2. Геометрическая интерпретация. Метод изоклин.

Д.у. первого порядка ^у = f (x, у) (*) разрешенное относительно у', допускает геометрическую интерпретацию. Если


у = у(x) - интегральная кривая уравнения (*), то в каждой своей точке (x; у(x)) эта кривая имеет касательную с угловым коэффициентом f (x, у(x)) = C. Заполним область D векторами {1; f (x, у)}. Полученный набор векторов называется полем направлений уравнения (*). Используя только по


ле паправлсппй, можно приближенно вычертить па бумаге интегральные кривые уравнения (*). В об.засти D существуют кривые д, в каждой точке (x; у) которых верно равенство f (x^) = C = const. Такне кривые называются изоклинами уравнения (*). Равенство f(x^) = C называется уравнением изоклин, которое показывает, что в каждой точке (x; у) данной изоклины интегральные кривые уравнения (*). имеют одно н то же направление {1; } = {1; f (x, у)}. Построив


достаточно густую сетку изоклин, отвечающих различным значениям постоянной и изобразив па каждой изоклине соответствующие ей направления {1; }, будем (двигаясь от конкретной точки (x ₀; у о) € D) проводить кривую, которая при пересечении с изоклиной f (x, у) = C касается направления {1;}. Полученная таким образом кривая, будет приближенным эскизом интегральной кривой уравнения (*).


1.3. Пример. Построить поле паправлсппй для уравнения у' = -у/x, найти несколько изоклин и приближенный вид


интегральпых кривых.


< Уравнение изо клин имеет вид у' = —y/x,т.e,. у = — Cx. Ниже на рисунке изображены изоклины при C₁ = — 1, C2 = — 2, Cз = 2, C4 = 1, Cs = 1 /2, C6 = — 1 /2. Например, уравнение изоклины у = — Cx при C । = — 1 является прямой у = x, проходящей по биссектрисе 1-го координатного угла. Тангенс угла наклона касательной к интегральной кривой на этой изоклине равен — 1, так как у' = c 1 = — 1, т.е. ка



8

сательные образуют с осью Ox угол 3п/4. На рисунке это направление отмечено черточками. При C2 = — -2 уравнение изоклины у = 2х. Тангенс угла наклона касательных к интегральной кривой на этой изоклине равен — 2. Уравнения изоклин: у = — 2х при C₃ = 2, у = —х при C4 = 1, у = —х/2 при C5 = 1 / 2, у = х/2 пр и C6 = — 1 / 2. Для приближенного изображения вида интегральной кривой, надо выбрать произвольно начальную точку и от нее провести кривую так, чтобы опа касалась направлений (черточек) па изоклипах. Интегральными кривыми будут гиперболы у = C/х. >



1.4. Задача Коши д.у. у' = f(х,у). Существование и единственность решения. Частные и общие решения и интегралы. Особое решение. ' Задачей Коши или начальной задачей уравнения у' = f (х, у) первого порядка, разрешенного относительно у', называется задача поиска такого решения у = у (х) этого урав нения, что у (х ₀) = у о; при этом точка (х₀;у₀) называется начальной точкой, а условие

9

y(xо) = y₀ — начальным условием уравнения y' = f (x, y).
Иначе говоря, требуется паптп интегральную кривую, проходящую через заданную точку (x₀; y₀).


Теорема существования и единственности решения задачи Коши.¹ Пусть функция f (x,y) и ее частная про-

изводная f (x, y) непрерывны в не которой области D. Тогда для любой начальной точки (x₀; y₀) G D существует такой ин-

тервал (x₀ — h, x₀ + h), что на этом интервале имеется ровно

одно решение y = y(x) уравнення    = f (x,y), удовлетворя


ющее начальному условию y (x₀) = y₀.


Геометрически эта теорема означает, что в некоторой окрестности точки (x₀; y₀) существует единственная ннтеграль-„    _      _ „ dy                ____
ная кривая уравнения — = f (x,y), проходящая через точку (x₀; y₀). Отметим, что существованне решения y = y(x)


и его единственность гарантируются лишь в достаточно малой окрестности (x₀ — h, x₀ + h) точkii x ₀, причем условия теоремы могут быть по выполнены, по тем по мопсе решение соответствующей задачи Коши может существовать.


Частным решением уравнения y' = f (x, y) называется решение y = y (x) задачи Коши при каком-нибудь конкретном значении y (x ₀) = y ₀.
Частным интегралом уравнения y' = f (x,y) называется соотношение F(x, y) = 0, которое определяет как неявную функцию некоторое частное решение этого уравнения.

Общим решением уравнения y' = f (x, y) в некоторой области D', лежащей в областн определения D С Oxy уравнения y' = f (x,y) называется такое соотношение y = F(x, C),


   ¹ Данный результат, как и некоторые другие факты приводятся в этой книге без доказательства. Их доказательства можно найти во многих учебниках для студентов математических и физических специальностей.

10

зависящая от произвольной постоянной C, что при любом допустимом значении постоянной C функция y = F (x, C) -решение уравнения y' = f (x, у) на некотором интервале (a, b) (т.е. (x,F(x,C)) G D' 11 (F(x,C))'ₓ(x,C) = f (x,y(x,C)) для всех x G (a,b)) 11 для любой начальной точки (x ₀; у о) G D существует такое допустимое значение C₀ иостоянной C, что функция у = F (x, C₀) является решен нем уравнения у' = f (x, у) с начальным условием у(x₀) = у₀.
Заметим, что в некоторых случаях вместо произвольной постоянной C удобно писать ln |C | или — ln |C |, являющиеся произвольными постоянными, когда C пробегает все ненулевые числовые значения.
Общим интегралом уравнения у' = f (x, у) в об.гасти D' С D называется соотношение F(x, у, C) = 0, которое содержит произвольную постоянную C н определяет как неявную функцию общее решение в D уравнения у' = f (x, у).
Иногда удобнее рассматривать в качестве решений д.у. такие функции x = -ф(у), что F(x(у), у, C) = 0.
Некоторые дифференциальпыс уравнения имеют решения, которые по могут быть получены из общего решения пн при каких зпачеппях произвольной постоянной. Это решения, в каждой точке которых нарушено условие единственности решения Коши.
Особым решением уравнения у' = f (x, у) называется любое такое его решение у = у(x), что для каждой точки (x₀; у(x₀)) интегральной кривой у = у (x) существует хотя бы еще одна интегральная кривая этого уравнения, которая проходит через эту точку и не совпадает с интегральной кривой у = у (x).
1.5. Пример. Найти частное решение уравнения у' = —у/x, проходящее через точку M0(1; 2).
< Общее решение этого уравнення задается формулой у =

И

—C/x (оно зависит от произвольной постоянной C и является решением этого уравнения; это проверяется подстановкой y = -C/x в уравнение y' = —у/x, см. 1.1). Подставляя значения x ₀ = 1 и у₀ = 2 в общее решение, получим C = — 2. Из общего решения найдем частное решение у = 2/x. >
1.6. Пример. Проверить, что функция у = (x + C)³/27 является общим решением уравнения у' = у²/³, а функция у = 0, x = 0, - особое решение этого уравнения.
< Для проверки того, что у = (x + C)³/27 - общее решение уравнения у' = у²/³ вычислим производную у' = (x + C)²/9 и подставим в уравнение у' = у²/³ производную у' = (x + C)²/9 у функцию у = (x + C)³/27, зависящую от произвольной постоянной C. Получим тождество (x + C)²/9 = (x + C)²/9. Поэтому функция у = (x + C)³/27 - общее решение нашего уравнения. Ясно, что функция у = 0 при x = 0 - решение уравнения у' = у²/³. но в каждой точке этого решения нарушается единственность решения задачи Коши, потому что через каждую точку прямой у = 0 проходит две интегральные кривые этого уравнения: кубическая парабола у = (x + C)³/27 и прямая у = 0; см. рисунок ниже.

Ясно, что решение у = 0 ни при каком C не вытекает из

12