Краткий курс математического анализа. Т. 2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ


Кудрявцев Л.Д.







Краткий курс математического анализа









МОСКВА ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 517
ББК 22.161.1
       К88
   Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т. 2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ: Учебник. — 3-е изд., перераб. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 424 с. - ISBN 5-9221-0185-4.
   Излагаются традиционные разделы математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных, гармонический анализ. В конце тома помещен краткий исторический очерк развития понятий математического анализа. Нумерация параграфов и рисунков продолжает нумерацию первого тома.
   Второе издание — 1998 г.
   Для студентов физико-математических и инженерно-физических специальностей.
   Ил. 88.
   Рецензенты:
   заведующий кафедрой общей математики факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, академик В.А. Ильин;
   профессор МФТИ, академик С.М. Никольский.


Учебное издание
КУДРЯВЦЕВ Лев Дмитриевич КРАТКИЙ КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ТОМ 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Редактор Е.Ю. Ходом Корректор Л. Т. Варьяш Иллюстрации А.А. Логунова Оформление переплета А.Ю. Алехиной Оригинал-макет Н.Л. Ивановой

ЛР К» 071930 от 06.07.99. Подписано в печать 25.03.02. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 26,5. Уч.-изд. л. 29,7. Допеч. тиража 3000 экз. Заказ .V*

Издательская фирма “Физико-математическая литература”
МАИК “Наука/Интерпериодика”
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmatemaik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс (8172) 72-60-72
E-mail: form.pfp©votel.ruhttp://www.vologda/~pfpv

ISBN 5-9221-0185-4

ISBN 5-9221-0185-4 (T. 2)
ISBN 5-9221-0183-8

© ФИЗМАТЛИТ, 2002, 2003
© Л.Д. Кудрявцев, 2002, 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ



ГЛАВА 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 33. Многомерные пространства............................. 7
    33.1. Определение n-мерного пространства (7). 33.2. Сходи-
    мость последовательностей точек в n-мерном пространстве (12).
    33.3. Различные типы множеств (20). 33.4. Компакты (27).
§ 34. Предел и непрерывность отображений.................. 34
     34.1. Функции многих переменных (34). 34.2 Предел отображений (35).                           34.3. Непрерывность отображений в точке (39).
     34.4. Свойства пределов отображений (41). 34.5. Предел и непрерывность композиции отображений (42). 34.6. Повторные
    пределы (44).
§ 35. Непрерывные отображения множеств.................... 45
     35.1. Непрерывные отображения компактов. Равномерная непрерывность отображений (45). 35.2. Непрерывное отображение
     линейно связных множеств (48). 35.3. Непрерывные отображения: общие свойства (50).
§ 36. Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных .................................................. 52
    36.1. Частные производные (52). 36.2. Дифференцируемость
    функций многих переменных (53). 36.3. Дифференцирование
    сложной функции (61). 36.4. Инвариантность формы первого
     дифференциала (63). 36.5. Геометрический смысл частных производных и дифференциала (64). 36.6. Производная по направлению. Градиент (66).
§ 37. Частные производные и дифференциалы высших порядков .... 69
     37.1 Частные производные высших порядков (69). 37.2. Дифференциалы высших порядков (71).
§ 38. Формула Тейлора для функций многих переменных ...... 72
    38.1. Формула Тейлора для функций двух переменных (72).
     38.2. Формула Тейлора для функций любого числа переменных (75).

Оглавление

§ 39. Экстремумы функций многих переменных ................. 78
     39.1. Необходимые условия экстремума (78). 39.2. Достаточные условия экстремума (79).
§ 40. Неявные функции. Отображения.......................... 85
     40.1. Неявные функции задаваемые одим уравнением (85).
     40.2. Декартово произведение множеств (92).  40.3. Неявные
     функции, задаваемые системой уравнений (93). 40.4. Свойст-
     ва якобианов отображений (97). 40.5. Непрерывно дифференцируемые отображения (98).
§41.  Условный экстремум .................................. 103
     41.1. Прямой методотыскания точек условного экстремума (103).
     41.2. Метод неопределенных множителей Лагранжа (105).
     41.3. Достаточные условия для условного экстремума (107).


ГЛАВА 5
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ


§42.  Кратные интегралы.................................... 112
     42.1. Объем (мера) в n-мерном пространстве (112). 42.2. Множества меры нуль (128).   42.3. Разбиение измеримых мно-
     жеств (131). 42.4. Интегральные суммы. Определение кратного интеграла (134). 42.5. Неполные интегральные суммы (136).
     42.6. Существование кратного интеграла (139). 42.7. Свойства кратных интегралов (141).
§ 43. Сведение кратного интеграла к повторному............. 148
     43.1. Сведение двойного интегралак повторному (148). 43.2. Сведение интеграла произвольной кратности к повторному (153). 43.3. Объем n-мерного шара (155). 43.4. Независимость меры
     от выбора системы координат (156). 43.5*. Формулы Ньютона-Лейбница и Тейлора (158).
§ 44. Замена переменных в кратных интегралах............... 161
     44.1. Линейные отображения (161). 44.2. Дифференцируемые
     отображения (165). 44.3 Формула замены переменного в кратном интеграле (174). 44.4 Геометрический смысл абсолютной
     величины якобиана отображения (181). 44.5. Криволинейные
     координаты. (182).
§ 45. Криволинейные интегралы ............................. 186
     45.1. Криволинейный интеграл первого рода (186). 45.2. Криволинейный интеграл второго рода (188). 45.3*. Интеграл Стилтьеса (193). 45.4*. Обобщение понятия криволинейного интеграла второго рода (202). 45.5. Формула Грина (205). 45.6. Формула для площадей (210). 45.7. Геометрический смысл знака якобиана отображения плоской области (211).

Оглавление

5

§ 46. Элементы теории поверхностей......................... 214
     46.1. Основные определения (214). 46.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (218). 46.3. Первая квадратичная форма поверхности (221). 46.4. Длина кривых на поверхности (222).
     46.5. Площадь поверхности (223). 46.6. Ориентация поверхности (225).
§ 47. Поверхностные интегралы.............................. 228
     47.1. Определения поверхностных интегралов (228). 47.2. Формулы для представления поверхностного интеграла второго рода в виде двойного интеграла (231). 47.3. Некоторые специальные случаи поверхностных интегралов второго рода (232).
§ 48. Скалярные и векторные поля........................... 235
     48.1. Основные понятия (235). 48.2. Формула Гаусса-Остроград-ского (238). 48.3. Геометрическоеопределение дивергенции (241).
     48.4. Формула Стокса (242). 48.5. Геометрическое определение вихря (246).            48.6. Соленоидальные векторные поля (247).
     48.7. Потенциальные векторные поля (249).
§ 49. Интегралы, зависящие от параметра.................... 254
     49.1. Равномерная сходимость по параметру семейства функций (254). 49.2. Свойства интегралов, зависящих от парамет-
     ра (257).
§ 50. Несобственные интегралы, зависящие от параметра...... 261
     50.1. Равномерно сходящиеся интегралы (261). 50.2. Свойст-
     ва несобственных интегралов, зависящих от параметра (267).
     50.3. Интегралы Эйлера (270). 50.4*. Интеграл Дирихле (271).


ГЛАВА 6
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

§ 51. Тригонометрические ряды Фурье........................ 274
     51.1. Основные понятия (274). 51.2. Приближение функций ступенчатыми функциями (277). 51.3. Теорема Римана. Стремление коэффициентов Фурье к нулю (281). 51.4. Интеграл Дирихле. Принцип локализации (283). 51.5. Сходимость ряда Фурье в точке (287). 51.6. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических (292). 51.7. Приближение непрерывных функций многочленами (296).
§ 52. Функциональные пространства.......................... 299
     52.1. Метрические пространства (299). 52.2. Линейные пространства (309).                     52.3. Нормированные и полунормированные
     пространства (310). 52.4. Гильбертовы пространства (317).
     52.5. Фактор-пространства (327). 52.6. Пространство То (331).
     52.7. Пространство Li (339).

Оглавление

§ 53. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах............... 341
     53.1. Ортогональные системы (341). 53.2. Полные системы (345).
     53.3. Ряды Фурье (349).  53.4. Дифференцирование тригоно-
     метрических рядов Фурье и порядок убывания их коэффициентов (360). 53.5. Скорость сходимости тригонометрических рядов (362).  53.6*. Ряды Фурье функций с произвольным периодом (364). 53.7*. Запись рядов Фурье в комплексной фор-
     ме (365).
§ 54. Интеграл Фурье и преобразование Фурье................. 366
     54.1. Представление функцийинтегралом Фурье (366). 54.2. Главное значение интеграла (372). 54.3. Преобразование Фурье (373).
     54.4. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций (377).
§ 55. Обобщенные функции.................................... 381
     55.1. Пространства D и D' (381). 55.2. Дифференцирование обобщенных функций (385). 55.3. Пространство S (388). 55.4. Преобразование Фурье обобщенных функций (391).


Краткий очерк развития математического анализа............ 396

Предметный указатель...................................... 420

ГЛАВА 4


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ






§ 33. Многомерные пространства.
   33.1.    Определение n-мерного пространства. Если на плоскости R² фиксирована прямоугольная система координат, то между точками плоскости и всевозможными парами чисел (ж, у) (хи у — координаты точек) существует взаимно однозначное соответствие. Если в пространстве задана аналогичная система координат, то между точками пространства и их координатами — всевозможными тройками (х, у, z) — также существует взаимно однозначное соответствие. С помощью координат точек на плоскости, используя теорему Пифагора, можно выразить расстояние р между двумя точками Mi = (xi,yi) и М₂ = (х₂,у₂) формулой
             р = р(М₁,М₂~) = \/(xi - х₂)² + (yi - у₂)².    (33.1)
   В пространстве R³ формула для расстояния р между точками Mi = (xi,ух,Zi) и М₂ = (х₂,у₂,z₂) имеет аналогичный вид:
    р = p(Mi,M₂) = у/(х! - х₂)² + (yi - у₂)² + (Zi - z₂)². (33.2)
   Пары (ж, у) и тройки (x,y,z) чисел можно рассматривать также и как координаты векторов на плоскости и в пространстве. Как известно, различные операции над векторами можно описывать в терминах их координат. Например, координаты линейной комбинации Аа|//Ь векторов а = (xi,yi,Zi) и Ь = (х₂, у₂, х₂) являются соответствующими линейными комбинациями координат данных векторов:
         Аа + рЪ = (Aari + рх₂, Ayi + ру₂, Xzi + pz₂),     (33.3)
в частности,
             a + b = (xi +х₂, у! +у₂, Zi +z₂),             (33.4)
             а - b = (xi - х₂, у! - у₂, Z! - z₂).          (33.5)
   Скалярное произведение (а, Ь) векторов а и Ь выражается через их координаты следующим образом:
(а, b) = (xix₂ + yiy₂ + ^i^₂),          (33.6)
а для длины |а| вектора а имеет место формула
|а| = у/ (а, а) = ^/х² + х₂ + Хд.       (33.7)

Гл. 4- Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Из (33.7) видно, что расстояние (33.2) между точками = (xi,yi,^i) и М2 = (х2,У2,^2) есть не что иное, как длина вектор а с началом в одной из этих точек и концом в другой, т. е. длина разности (33.5) векторов а = (xi,yi,^i) и b = (х₂, У2, <22):
p(Mi,M₂) = |а-Ь|.                  (33.8)
   Нам понадобится понятие n-мерного пространства (п — натуральное число), элементами х которого являются упорядоченные множества п действительных чисел
х = (х₁,х₂,...,хп), xₖeR, к = 1,2,...,п.
Эти элементы по аналогии с обычным пространством можно рассматривать и как точки, и как векторы (n-мерного пространства). В первом случае для них определяется понятие расстояния, во втором — соответствующие векторные операции.
   Линейная комбинация с коэффициентами Аид двух элементов х = (xi,X2, -;Хп) и у = (yi,y₂,...,yₙ) по аналогии с формулой (33.3)

определяется равенством
        Ах + ду =f(Axₓ + дух, Ах₂+ду₂, ..., Ах,,+/«/,,)■       (33.9)
   В частности,
            х + у = (Ж1 + У1, х₂ + у₂, ..., Хп + у„),          (33.10)
            х - у = (хх - У1, х₂ — У2, ..., Хп - уп),          (33.11)
                   Хх = (Ахх, Ах₂, ..., Ххп).                  (33.12)
   Скалярное произведение элементов х и у определяется равенством (х, у) d= Ж1У1 + Х2У2 + ••• + хпуп.                        (33.13)

   Подчеркнем, что в случае п = 1,2,3 формулы (33.9) и (33.13) доказываются с помощью свойств геометрии трехмерного пространства, а в случае п > 3 они принимаются за определение.
   Определение 1. Множество всех упорядоченных систем х = = (хх, Х2, •••,хп) п действительных чисел, для которых определены линейные комбинации (33.9) и скалярное произведение (33.13), называется п-мерным арифметическим евклидовым векторным пространством и обозначается Rⁿ. Его элементы х = (хх, ...,хп) называются векторами, а числа хх,х₂, ...,хп — их координатами.
   Отметим, что для простоты записи векторы в n-мерном пространстве при произвольном п обычно обозначаются светлым шрифтом.
   Вектор 0 = (0,0,..., 0) называется нулевым вектором.
   Для любого вектора х вектор —х =f(—1)х называется противоположным вектору х. Очевидно, что х + (—х) = 0.

§33. Многомерные пространства

9

   Скалярное произведение (33.13) векторов пространства Rⁿ имеет следующие свойства.
   1°. Симметричность: (х,у) = (у,х).
   2°. Линейность: (Аж + уу, z) = А(ж, z) + д(у, z).
   3°. (ж,х) 0.
   4°. Если (х, х) = 0, то х = 0.
   Все это верно для любых х G /?”, у G Rⁿ, z € Rⁿ и A G R, у G R. Свойства 1°-4° непосредственно следуют из определения (33.13).
   Длина |ж| вектора х пространства Rⁿ по аналогии с формулой (33.7) определяется равенством
|ж| =f (ж, ж),                  (33.14)

следовательно,

\Х\₁=^МХ1⁺Х1 ⁺ - ⁺ Хп-
                    (33.13) *

(33.15)

   Очевидно, что длина |ж| вектора х равна нулю тогда и только тогда, когда х = 0.
   Длина вектора обладает тем свойством, что для любого числа А имеет место равенство
|Аж| = |А||ж|.                    (33.16)
   В частности, | — ж| = |ж|
   Л е м м а 1. Для скалярного произведения векторов х G Rⁿ и у G Rⁿ справедливо неравенство
|(х,у)|^|ж||у|.                   (33.17)
   Это неравенство называется неравенством Коши-Шварца*).
> Если х = 0, то неравенство (33.17) очевидно, так как обе части обращаются в нуль.
   Пусть 1^0. Для любого t G R согласно свойству 3° скалярного произведения выполняется неравенство
(to + у, tx + у) 0.                 (33.18)
С другой стороны, в силу 1° и 2°

          (to + у, tx + у) = (х, x)t² + 2#(ж, у) + (у, у),  (33.19)

поэтому
(x,x)i² +2t(x,y) + (у, у)           0,
                                          (33.18),(33.19)
где из условия х 0 согласно свойству 4° имеем (ж, ж) 0. Но если квадратный трехчлен неотрицателен, то его дискриминант неположителен:
(ж, у)² - (ж,ж)(у,у)  0,
а это неравенство равносильно неравенству (33.17). <1

    *) Г. Шварц (1843-1921) — немецкий математик.

Гл. 4- Дифференциальное исчисление функций многих переменных

   Следствие 1. Для любых векторов х € Rⁿ и у G Rⁿ выполняется неравенство
к + у|^к1 + Ы-                        (33.20)
> Действительно,

|х + у\₍з = ₄₎ ^{х + у,х + у)=^ ^(х,х) + 2(а:,У) + (У,У)₍зз ^зз ^

                     ^|х|2 ₊ 2|х||у| + |у|2 <1 ^(|х| + |у|)2 = |х| + \у|. <1
         (33.14),( 33.17)


  В координатной записи неравенства (33.17) и (33.20) имеют вид п                       п     п
|ЕМ     а ЕЕ ЕЕ
i=l     \ 2=1 \ 2=1



п

п

п

        х Е^+е²^      +
\ г=1     \ г=1 \ г=1


vl

  Следствие 2. Для любых векторов х € Rⁿ и у € Rⁿ выполняет-

ся неравенство

Iki - 1у11 к - у\-

(33.21)

Ь> Это неравенство является непосредственным следствием неравенства (33.20). В самом деле,


kl = к - У + У\ к - У\ + 1уЬ (33.20)


поэтому |х| — |у| к — У\- Аналогично, |у| — |х| \у — х| = |х — у\. Из двух последних неравенств и следует неравенство (33.21). <1
   Два вектора, скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными. Ненулевые ортогональные векторы называются перпендикулярными.
   Если вектор с, имеет все координаты равными нулю, кроме г-й, которая равна единице, то множество векторов х = еД, —оо < t < < +оо, называется i-й координатной осью арифметического векторного пространства, i = 1,2, ...,п, а упорядоченное множество векторов {вх,в2,..., еп} — каноническим базисом этого пространства.
   Векторы канонического базиса ортогональны друг другу, и длины их равны единице.
   Всякое упорядоченное множество п единичных векторов е(, i = = 1, 2,..., п (т. е. длины которых равны единице), попарно ортогональны друг другу:

|еД = 1, (ейе₇)=0, г j, i,j = 1,2, ...,n,


называется базисом пространства или, более полно, ортонормирован-ным базисом.

§33. Многомерные пространства

11

   Из линейной алгебры известно, что каждый вектор раскладывается, и при этом единственным образом, в линейную комбинацию векторов базиса. Коэффициенты этого разложения называются координатами вектора относительно данного базиса. Поэтому переход от одного базиса к другому называется переходом от одной системы координат к другой.
   Из линейной алгебры известно также, что векторы любого ор-тонормированного базиса {е^е^, ...,6^} выражаются через векторы другого такого базиса {е", е₂,..., е"} (в частности, через векторы канонического базиса {ех,е₂,..., еп}):
                        п
е\ = ^с^е”, г = 1,2,...,п,
                       г=1
с помощью матрицы С = (су), i,j = 1,2, ...,п, у которой обратная матрица С⁻¹ совпадает с транспонированной С*:
с ¹ = С*.

   Такие матрицы называются ортогональными.
   Верно и обратное утверждение: если упорядоченная система векторов выражается через некоторый ортонормированный базис с помощью ортогональной матрицы, то эта система также является орто-нормированным базисом.
   Если {е'х, е'₂,..., е'п} — базис, то множество векторов х = е'у, —оо < t < +оо, называется i-й координатной осью для рассматри-

ваемого базиса, i = 1, 2.

п.

    Для элементов х = (хх, х₂,...,хп) и у = (ух, у₂,...,уп) можно ввести по аналогии с формулой (33.8) понятие расстояния р(х,у) между ними:

p(x,y)d=\x-y\.
   Используя формулы (33.11) и (33.15), расстояние р(х,у) записать в виде


      вай, У) = V(xi - Ух)² + (х₂ - У2У² + ... + (хп - уп)²,

(33.22)
можно

(33.23)

откуда следует, что расстояние, определенное посредством формулы (33.22), в случае п = 1,2,3 (см. формулы (33.1) и (33.2)) совпадает с обычным расстоянием между точками.
   Определение 2. Множество всех упорядоченных систем х = = (жх,х₂, •••, хп) п действительных чисел, для которых определено по формуле (33.23) расстояние, называется п-мерным арифметическим евклидовым точечным пространством и также обозначается через Rⁿ. Элементы х = (xi, х₂,..., хп) называются его точками, а числа Xi, х₂,..., хп — их координатами. Точка О = (0,0,..., 0) называется началом координат этого пространства, а по аналогии с векторным

Гл. 4- Дифференциальное исчисление функций многих переменных

пространством множество точек, все координаты которых равны нулю, кроме стоящей на г-м месте, которая принимает все действительные значения: —оо < Xi < +<х>, называется его i-й координатной осью, г = 1,2...,п.
   В дальнейшем слова “арифметическое” и “евклидово” будут для краткости опускаться и будет просто говориться о векторных и точечных n-мерных пространствах (в § 52 будет дано дальнейшее развитие понятия пространства).
   Как в случае векторного, так и в случае точечного п-мерного пространства число п называется размерностью этого пространства.
   Расстояние р(х,у) между точками х и у n-мерного пространства Rⁿ имеет следующие свойства.
   1°. р(х, у) "Д 0, причем р(х,у) = 0 тогда и только тогда, когда х = У-
   2°. р(х,у) = р(у,х).
   3°. р(х,у) p(x,z) + p(z,y).                           (33.24)
   (Здесь x,y,z — произвольные точки Rⁿ.)
   Неравенство (33.24) называется неравенством треугольника.
   Свойство 1° расстояния следует из формулы (33.22), свойства 3° скалярного произведения и того, что длина |х — у\ вектора х — у равна нулю в том и только том случае, когда х = у.
   Свойство 2° расстояния следует из (33.16):
р(х, у) = \х-у\ = |(-1)(у - ж)| = \у - ж| = р(у, х),
а свойство 3° — из следствия леммы 1. В самом деле,
Р^х^У\=\х-У\ = \^х-г) + (г-у)\           \x-z\ + \z-y\ =
      (33.22)                       (33.20)            (33.22)
                                            , = p(x,z) + p(z,y). (ОО ^2 )
   В ближайших параграфах в основном будет встречаться точечное n-мерное пространство Rⁿ. Векторная структура, которой его можно наделить, будет мало использоваться (однако именно она позволила нам компактно доказать свойства расстояния в n-мерном пространстве).
   33.2. Сходимость последовательностей точек в п-мерном пространстве. Прежде всего определим понятие окрестности в n-мерном пространстве.
   Определение 3. Пусть х Е Rⁿ и е > 0. Совокупность всех таких точек у G Rⁿ, что р(х,у) < г, называется п-мерным открытым шаром радиуса е с центром в точке х или е-окрестностью (а иногда сферической или, правильнее, шаровой окрестностью) точки х в пространстве Rⁿ и обозначается U(x;s).

§33. Многомерные пространства

13

   Таким образом, U(x;s)=f{y:yeRⁿ, р(х,у)<е}.

(33.25)

   В координатной записи это определение выглядит следующим об-

разом:
U(x;e) =    = (ух

       п

    Уп)- 52 (у» -Xi}² <Е²}, х= (xi,...,xₙ), Е > 0. 1=1


   Если п = 1, то U(x;e) = (х — е,х + е) — интервал длины 2 с центром в точке х. Если п = 2, то U(x;e) — круг радиуса е с центром в точке          Если же п = 3, то U(x;e) — обычный
трехмерный шар радиуса е с центром в точке (х1,Х2,Хз).
   Иногда бывает полезным также и понятие прямоугольной окрестности.

  Определение 4. Множество


F(x;<5i,...,<5ₙ) = {у = (yi,...,yₙ): |у» - xₜ\ < <5,, г = 1,2,...,п} (33.26) называется прямоугольной (или, при п 3, параллелепипедальной) окрестностью точки х.
   В частном случае <51 = 62 = ••• = 5п = 5 множество
F(x;5)d= Р(х;5,...,5)                (33.27)
называется кубической окрестностью точки х.
   Очевидно, что если для чисел 5±,...,5п положить
                = min{<5i,...,<5„}, 5 = max{5i, ...,5п}, то
P(ar; 5₀) С P(ar; 51,..., 5п) С Р(ж; 5).      (33.28)

   Прямоугольную окрестность Р(х; 5±,..., 5п) называют также п-мерным открытым параллелепипедом или, более полно, п-мерным открытым параллелепипедом, ребра которого параллельны координатным осям и имеют длины 2<5»i, 25г, ■■■, %5п, а Р{х-,5) — п-мерным открытым кубом с ребрами длины 25 и параллельными координатными осям.
   Если п = 1, то Р(х;5) = (х — 5,х + 5) — снова интервал; если п = 2, то Р(х; <51,62) — прямоугольник, а Р{х-,5)—квадрат, а если п = 3, то Р(х; <51,62,5з) — обычный трехмерный параллелепипед, а Р(х; 5) — куб.
   Лемма 2. Любая сферическая окрестность точки пространства Rⁿ содержит прямоугольную окрестность и содержится в прямоугольной окрестности этой точки.
   Любая прямоугольная окрестность точки содержит сферическую окрестность и содержится в сферической окрестности этой точки.

Гл. 4- Дифференциальное исчисление функций многих переменных

> Прежде всего отметим, что для любых чисел <ц, а₂,..., ап справедливо неравенство

   |а,| ^al+a% + ... + а²п |ах| + |а₂| + ... + |а„|, i = 1,2,...,п,
                                                           (33.29) которое доказывается возведением обеих частей в квадрат. В силу этого неравенства для координат любых двух точек х = (xi, ж₂,..., хп) и у = (t/i,y₂, ■■■чУп) пространства Rⁿ справедливо неравенство
\Vi~ Xi\ р(х,у) =
        (33.29)    (33.23)
        , = ч V(У1 - ж1)² + (У2 - Жг)² + - + (Уп - Хп)² «г
        (33.23)                                     (33.29)
         |У1 — ^1| + |у₂ — х₂| + ... + |у„ — х„|, г = 1,2,...,71, (33.30) (33.29)
из которого согласно определениям (33.25) и (33.26) сразу следуют оба утверждения леммы 2. <1
   Упражнение 1. Доказать, что для любого е > 0 и любой точки х G Rⁿ справедливы включения
р(х-, U(x;e) С Р(х;е) С U(x; Еу/п.)

   Мы будем рассматривать последовательности точек пространства Rⁿ, т. е. отображения р N e R" множества натуральных чисел N в пространство Rⁿ (см. п. 4.6*), где
х(т) _        т & N.
   По аналогии со случаем числовых последовательностей определяется понятие подпоследовательности. Если из некоторых членов последовательности         точек n-мерного пространства составлена
новая последовательность          в которой порядок следования ее
членов совпадает с порядком их следования в исходной последовательности (из fei > fc₂ следует тщ > тр₂), то последовательность называется подпоследовательностью последовательности
   Определение 5. Точка х € Rⁿ называется пределом последовательности х^ € Rⁿ, т = 1,2,..., если
Ит р(х⁽т\х) =0.                   (33.31)
                        т—
В этом случае пишут
Ит ж'™' = х т—
и говорят, что последовательность       сходится к точке х.
   Последовательность, которая сходится к некоторой точке пространства Rⁿ, называется сходящейся.