Линейная алгебра и аналитическая геометрия


А. А. Туганбаев






ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ





Учебник














Москва Издательство «ФЛИНТА» 2022

УДК 512.64+514(075.8)
ББК 22.143+22.151.5я73
     Т81












     Туганбаев А. А.
Т81      Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учебник /
     А. А. Туганбаев. — Москва : ФЛИНТА, 2022. — 260 c. — ISBN 978-5-9765-5265-4. — Текст : электронный.

           Учебник соответствует программам курсов высшей математики для учащихся и преподавателей различных нематематических специальностей и может также выполнять функции учебника и задачника по высшей математике. В книге рассмотрены следующие важнейшие разделы математики — линейная алгебра и аналитическая геометрия.


УДК 512.64+514(075.8)
ББК 22.143+22.151.5я73







ISBN 978-5-9765-5265-4

© Туганбаев А.А., 2022
© Издательство «ФЛИНТА», 2022

Содержание



1. Матрицы и определители................................ 6
1.1. Матрицы............................................. 6
1.2. Действия над матрицами.............................. 7
1.3. Перестановки и транспозиции........................ 23
1.4. Определители квадратных матриц и их свойства..... 25
1.5. Разложение определителя по элементам строки или столбца............................................. 33
1.6. Вычисление определителей методом Гаусса.......... 37
1.7. Обратная матрица................................... 38
1.8. Метод Гаусса-Жордана вычисления обратной матрицы. 39
1.9. Правило Крамера решения СЛУ........................ 41
1.10. Ранг матрицы. Линейная зависимость................ 43
1.11. Задачи к разделу 1................................ 48
     Ответы к задачам раздела 1......................... 56

2. Системы линейных уравнений........................... 59
2.1. Основные определения............................... 59
2.2. Совместность системы............................... 60
2.3. Однородные системы................................. 62
2.4. Неоднородные системы............................... 65
2.5. Метод исключения Гаусса решения СЛУ.............. 68
2.6. Число действий при решении методом Гаусса........ 73
2.7. Метод исключения Гаусса и LU-разложение.......... 74
2.8. Формулы для ведущих элементов метода Гаусса...... 78
2.9. Об ошибках округления.............................. 79
2.10. Матричные уравнения............................... 81
2.11. Задачи к разделу 2................................ 83
     Ответы к задачам раздела 2......................... 87

3. Аналитическая геометрия.............................. 89
3.1. Геометрические векторы............................. 89
3.2. Скалярное произведение и его свойства............ 95
3.3. Векторное произведение и его свойства............ 97
3.4. Смешанное произведение и его свойства............ 100
3.5. Системы координат на плоскости.................... 102
3.6. Линии на плоскости................................ 107
3.7. Прямые на плоскости............................... 110
3.8. Линии второго порядка на плоскости................ 114

3.9. Общие уравнения кривых второго порядка............. 125
3.10. Поверхности и линии в пространстве................ 131
3.11. Плоскости в пространстве.......................... 132
3.12. Прямые в пространстве............................. 136
3.13. Прямая и плоскость в пространстве................. 140
3.14. Цилиндрические поверхности........................ 141
3.15. Поверхности вращения.............................. 142
3.16. Поверхности второго порядка....................... 143
3.17. Задачи к разделу 3................................ 148
   3.17.1. Задачи к разделу 3.1......................... 148
         Ответы к задачам раздела 3.1................... 152
   3.17.2. Задачи к разделу 3.2......................... 152
         Ответы к задачам раздела 3.2................... 156
   3.17.3. Задачи к разделу 3.3......................... 158
         Ответы к задачам раздела 3.3................... 161

4. Линейные пространства................................ 162
4.1. Определение линейного пространства................. 162
4.2. Размерность и базис................................ 163
4.3. Изоморфизм линейных пространств.................... 166
4.4. Переход к новому базису............................ 168
4.5. Подпространства линейного пространства............. 169
4.6. Задачи к разделу 4................................. 172
    Ответы к задачам раздела 4.......................... 173

5. Линейные операторы................................... 174
5.1. Основные определения............................... 174
5.2. Действия над линейными операторами................. 177
5.3. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису............................ 180
5.4. Ранг и дефект линейного оператора.................. 181
5.6. Невырожденный линейный оператор.................... 182
5.7. Инвариантные подпространства....................... 183
5.8. Собственные векторы и собственные значения......... 185
5.9. Задачи к разделу 5................................. 188
    Ответы к задачам раздела 5.......................... 191

6. Евклидово пространство............................... 192
6.1. Скалярное произведение............................. 193
6.2. Ортонормированный базис............................ 194
6.3. Согласованные нормы и обусловленность матриц....... 198

6.4. Метод наименьших квадратов для решения несовместных систем линейных уравнений................ 201
6.5. Приведение матриц к трехдиагональному виду....... 206
6.6. Задачи к разделу 6............................... 213
    Ответы к задачам раздела 6........................ 215

7.  Билинейные и квадратичные формы................... 217
7.1. Билинейный функционал. Квадратичная форма........ 217
7.2. Канонический вид квадратичной формы.............. 220
7.3. Закон инерции квадратичных форм.................. 223
7.4. Определенные формы матриц........................ 223
7.5. Полуопределенные и неопределенные формы матрицы.. 226
7.6. Метод неопределенных коэффициентов
для получения разложения Холецкого симметричной положительно определенной матрицы........ 229
7.7. Евклидова норма и обусловленность матриц......... 232
7.8. Задачи на собственные значения и собственные векторы................................. 236
7.9. Итерационные методы решения систем уравнений..... 242
7.10. Замечания к задачам матричного исчисления....... 246
7.11. О приложениях матричного исчисления............. 247
7.12. Задачи к разделу 7.............................. 250
     Ответы к задачам раздела 7....................... 253

Предметный указатель.................................. 256

Матрицы п определители


        1    Матрицы и определители

   В этом разделе мы сначала изучаем матрицы (их описание, основные определения и действия над матрицами). Далее мы рассматриваем перестановки и транспозиции, определители ква/фатных матриц различных порядков и их свойства (разложение определителя ио элементам строки или столбца, вычисление и применения определителей), обратные матрицы, правило Крамера /цтя решения систем линейных уравнений, ранг матрицы, линейная зависимости.



    1.1 Матрицы


   Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или п столбцов одинаковой высоты).
   Матрицы записываются в виде

A =

a 1 n \ a 2 n

a a 11
a 21

a 12
a 22

\ am 1 am2

amn

/

или, сокращенно, A = (aij), где i = 1, 2,..., m - номер строки, j = 1,2,..., n - номер столбца. При этом говорят, что матрица A имеет размер m х пи является (m х п)-матрицей Aₘₓₙ. Чиела aij, составляющие матрицу, называют ее элементами. Первый индекс указывает номер строки, а второй - номер столбца, содержащих данный элемент. Таким образом, a₂₃ находится на пересечении второй строки и третьего столбца. Примером (2 х 3)-матрицы
служит следующая матрица: A₂ х ₃ =


Элементы aij, где i = j, называют диагональными.
Совокупность диагональных элементов a 11 ,a₂₂,... ,aₖₖ, где k = min(m, п), называется главной диагональю, а совокупность a 1 ₙ,a₂ ₙ₋ 1,... - побочной диагональю матрицы.
Матрицы одного размера равны между собой, A = Б, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т.е. если aij = bij п ри i = 1, 2,... ,m, j = 1, 2,... ,п.

4

0

- 3

(

.

- 7

3

1

Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Квадратную матрицу Aₙₓₙ называют матрицей порядка п или n-го порядка.

Если A - квадратная матрица, то сумма ее диагональных элементов называется ее следом. Если A = (aij) - квадратная матрица порядка п, то число n
tr A = )С aii еле дом A. След неквадратной матрицы не определяется. i=1

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Например, / 3          0 0 \
A =    0 —17     0 представляет собой диагональную матрицу.
     \ 0     0 99 /

Матрицы п определители

7

Квадратные матрицы, все элементы которой над (соотв., под) диагональю равны нулю, называют нижнетреугольными (соотв., верхнетреугольными). Нижпстрсугольпыс или всрхнстрсугольпыс матрицы называют треугольными. Таким образом, квадратная матрица является треугольной, если все

элементы, расположенные но о/щу сторону от главной / 1                           7 13 \         / 2
нулю. Например, если B =   0 — 2  9 и С =       8
\ 0   0  7 У         \ 1
B - верхняя, а С - нижняя треугольная матрицы.

диагонали, равны
   0 0 \
   5 0   , то
—3 2 у

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной и обозначается буквой Е. Отметим, что для каждого порядка n существует своя единичная матрица Еп.

( 1 0
1.1.1. Пример. Е₃ =  0 1
\ 0 0

единичные матрицами порядка

0
0
1
3

и Еп

1  1    0
0    1
...   . . .
\  0    0

n n соответственно.

0
0
. .
¹

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается буквой O. Отметим, что для каждого размера m х n существует своя


нулевая матрица, которая имеет вид:


                                  0
                     O v =       ⁰
                     тхпХП ---
. . .
                                  ⁰


0
0
. .
0

0
0
. .
⁰

Матрица, содержащая одни столбец или одну строку, называется вектор-столбцом или вектор-строкой соответственно. Их вид:

A = a² , B = (bi b₂ ... bn) . ...
                        \am /


Матрица размера 1 х 1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. (5)1 х ₁ = 5.
Матрица, полученная из дашюй заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к дашюй, и обозиа-
        Tr           „   А 2\ Tr 1 1           3 \             ¹ ¹  I
чается AT.  Так, если A =      ^J , то AT = 2  4 ]  ®сли A = I 2    I ,


to AT = ( 1 2 3 ) .


    1.2  Действия над матрицами

1.2.1. Сложение и вычитание матриц.
Пусть компания располагает данными о своих продажах на протяжении года, сгруппированными ио видам изготовляемой продукции и районам сбыта. В таблице представлено распределение трех видов продукции ио трем

Матрицы п определители

районам.

Вид продукции Районы продажи   
              1    2      3   
      а       98 24     42    
      в       39 15     22    
      Y       22 15       17  

Перепишем содержание таблицы в виде (3 х 3)-матрицы:


A =

                                  98 24 42 \
                                  39 15 22       .
                                  22 15 17 У


В таком случае аналогичные данные, относящиеся к следующему году, можно записать в том же норя/цсс с помощью матрицы:


B =

55 19 44
                                   43 53 38     .
                                   11 40 20 У


Тогда общее число единиц продукции вида а, проданной в районе 1 на протяжении рассматриваемых двух лет, равно сумме элементов, расположенных в каждой матрице на пересечении первой строки и первого столбца: 98 + 55 = 153, а общее число едиг1иц продукции вида у, проданной в районе 2 за тот же период, равно: 15 + 40 = 55.
Матрица, составленная сложенном всех указанных величин, имеет вид:


              98 + 55 24 + 19 42 + 44 \        / 153 43 86 \
              39 + 43   15 + 53  22 + 38    =     82   68  60    .
              22 + 11   15 + 40  17 + 20   У \ 33      55  37   ]


Элементы этой матрицы характеризуют объем продаж различных видов продукции в каждом районе на протяжении двух лет. Такая матрица представляет собой сумму матриц A и B, полученную путем поэлементного сложения матриц.
Суммой двух матриц Amхₙ = (aij) и Bmₓₙ = (bij) называется матрица Cmₓₙ = (Cij) такая, что cij = aij + bij, где i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n. Ясно, сложение матриц возможно только в том случае, когда у них одинаковые размеры; другими словами, две матрицы можно складывать, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов. Например,


(

2
4

- 3

3

3

-1

0
0

⁺

⁼

                                                -1

5

4

-2

-5

10

.

Аналогично определяется разность матриц. Пусть в таблице ниже приведены данные о совокупных продажах компании с 1 января но 31 марта определенного года.

   Вид    Районы продажи     
продукции  1   2    3    4  
    а     910 1275 1210 1304
    в     860 967  667  1048

Матрицы п определители

9

       _______      . ..    .  9 910 1275 1210 1304 \ „ _      „ _
Хаблице сопоставим матрицу A =  олг>  „„„   „„„  . „ .„ . Пусть сово-
                      ■  -       860  967   667  1048 J J
куппыс продажи указанных изделий (рассчитываемые нарастающим итогом) на 30 июня того иге года составили
       2050 1340 1344 1384
B =    1 ооп тсс ini । iiu. • Хогда объемы продаж того или иного
       1380 1058 1011 1189
вида товаров в каждом районе, рассчитываемые нарастающим итогом за период с 31 марта ио 30 июня, равны разности объемов продаж за соответствующие периоды времени; так, объем продажи продукции вида а в районе 1 равен 2050 — 910 = 1140. Аналогично этому объем продажи продукции вида в в районе 4 равен 1189 — 1048 = 141. Следовательно, полученная таким

путем матрица
/ 1140 65 134
   520  91 344

2050
1380
80
141

910 1340-
860   1058

1275 1344
967   1011

1210 1384
667   1189

1304
1048 ) =

характеризует объемы продаж обоих товаров с 31

марта но 30 нюня во всех четырех районах.

















Следовательно, как и в случае операции сложения, вычитать можно только те матрицы, которые имеют одинаковые размеры. Таким образом, матрицы, согласованные /щя сложения, согласованы и /щя вычитания, и наоборот.

1.2.2. Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы Am х ₙ  =                 (aij) на чи ело к называется матрица
Bmₓₙ    = (bij) такая, что bij = к • aij д/гя i = 1, 2, • •       •, m и j = 1, 2, • • •, n.
Например,

          , о л < 0                                 — 1 2 \ / 0 — 3 6 \
к = ³’ A = ( 3    4  5 )’ к ' A = ( 9 12 15 )'


Матрица — A = (—1) • A называется противоположной матрице . Разность матриц A — B можно определить так: A — B = A + (—B).
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами, где A, B, C, O - матрицы; 1 ,а и в -числа:

I.  A + B = B + A;
II. A + (B + C) = (A + B) + C;
III. A + O = A;
IV.  A — A = O;
V.  а • (A + B) = а • A + а • B;
VI.  1 • A = A;
VII.  (а + в) • A = а • A + в • A;
VIII.  а • (в • A) = (а • в) • A,
1.2.3. Умножение строки на столбец.
Пусть объем розничных продаж в течение года составил соответственно 58, 26 и 8 единиц, а цены этих товаров были равны соответственно 10, 20 и 30 единицам. Тогда общий доход от продажи всех трех товаров за год равен 58 • 10 + 26 • 20 + 8 • 30 = 1340 единиц. Представим данные о продажах с помощью вектор-столбца а, а соответствующие цены с помощью
/ 58 \       / 10 \
вектор-столбца b, где а =   26  , b =     20  • Тогда общий доход от
\ 8 /        \ 30 /

Матрицы п определители

продажи трех товаров представляет собой сумму произведений элементов вектор-строки aT (количество проданных товаров) на соответствующие элементы b (цены указанных товаров). Так определяется aTb - произведение вектор-строки на вектор-столбец. Ойо записывается следующим образом: aTb = ( 58 26 8 ) • ( 10 20 30 )T = 1340. Приведенный пример поясняет правило вычисления aT b :
                             T
каждый элемент вектор-строки a следует умножить на соответствующий элемент вектор-столбца b и сложить полученные произведения. Таким об-

разом, если
       a a 1 \
          a 2    к
a =              и b
          . . .
       \ an /

   b1
   b 2
. . .
\ bⁿ /

aTb = aibi + a2b2 4----+ anbn =

, то произведение aT b определяется как n
^2 aibi. Это определение можно применять i =1

только в тех случаях, когда a и b содержат одинаковое количество элементов; в противном случае произведение aT b не может быть определено, оно

не существует.

1.2.4. Умножение матрицы на столбец и строки на матрицу.
В примере из 1.2.3 говорилось о розничных продажах товаров на внутреннем рынке. Пусть компания, кроме того, имеет отделения, занимающиеся продажей товаров другим фирмам и сбытом товаров за рубежом. В таблице ниже приведены данные о продажах товаров ио каждому из отделений.

      Отделение       Вид товара и его цена, мли.руб.     
                      1 (10 м.р.) 2 (20 м.р.) 3 (30 м.р.)
  Розничные продажи       58          26           8     
Продажи другим фирмам     52          58          12     
 Продажи за рубежом        1           3           9     

Доход от розничных продаж уже вычислен; аналогичные расчеты могут быть проведены и но двум другим отделениям.

      Отделение       Выручка от продажи, мли.руб.      
  Розничные продажи   58 • 10 + 26 • 20 + 8 • 30 = 1340 
Продажи другим фирмам 52 • 10 + 58 • 20 + 12 • 30 = 2040
 Продажи за рубежом     1 • 10 + 3 • 20 + 9 • 30 = 340  

Содержание последних двух таблиц запишем в виде матрицы

   58 26 8            1340                              
A= 52 58 12 и вектора 2040 . Элементы вектора получают-
   1  3  9            340                              

ся точно так же, как описанное ранее произведение aTb, причем в качестве вектора aT в каждом случае взята носледующая строка матрицы A. Полученный результат представляет собой произведение Ab; другими словами, Ab образовано из соответствующих произведений aTb, но в качестве aT теперь взяты последовательно строки матрицы A, в результате получен вектор-столбец. Следовательно,

      5  58  26   8  \  1 10  \  5  58 • 10 + 26 • 20 + 8 • 30 \ 1  1340 \
Ab =     52  58  12  •    20  =    52  • 10 + 58 • 20 + 12 • 30 =   2040 .
      \   1   3   9  У  \ 30  У  \ 1 • 10 + 3 • 20 + 9 • 30 )    \   340 )

Матрицы п определители

11

В общем виде этот пример можно записать так:


a 11
a 21
a 31

A =

a12 a13
a22 a23
a32 a33

b =

ii

Ab =

a 11 b 1 + a 12 b 2 + a 13 b 3
a 21b 1 + a 22 b 2 + a 23 b 3
a 31b 1 + a 32 b 2 + a 33 b 3


                                                    / 3         \

                                                       52 a 1 k bk
       k=1
       3
       E a 2 k bk
       k=1
       3
                                                           a3k bk
                                                       k=1

Таким образом, первый элемент произведения Ab равен сумме произведений a। j, взятых из иервой строки A, на соответствующие элементы вектора b; аналогично рассчитываются остальные элементы Ab.
Произведение Ab существует только в том случае, когда число элементов в строках матрицы A (другими словами, число столбцов) равно числу элементов, составляющих вектор-столбец Ь. Если это равенство соблюдается, то произведение Ab образует вектор-столбец, содержащий столько же элементов, сколько строк насчитывается в матрице A. Следовательно, если в матрице A содержится m строк и к столбцов и порядок вектор-столбца b равен к, то произведение Ab представляет собой вектор-столбец порядка m, k
причем i-й элемент этого вектора равен Е aij bj п ри i = 1, 2.... ,к.
j=1
Аналогично определяется произведение aTB строки на матрицу. Оно суще-„ „                 „      „„„„„„        „           „т 
ствует только тогда, когда число элементов вектор-строки a равно числу элементов в столбцах матрицы B (т.е. числу строк матрицы B), в таком случае произведение aTB образует вектор-строку, содержащую столько же элементов, сколько столбцов насчитывается в B. При этом произведения aTB не всегда равны BaT, причем произведение BaT может и не существовать, несмотря на то, что существует произведение aTB, и наоборот.
1.2.5. Умножение матриц.
Операцию умножения двух матриц молено представить как результат многократного умножение матрицы на векторы. Для умножения матриц A и B будем рассматривать матрицу B как набор вектор-столбцов. Тогда произведение AB представит матрицу, составленную последовательным записыванием друг за другом результатов произведения матрицы A на каждый из вектор-столбцов матрицы B. Например, если


                       1   1  0  2 \
                           3  1 1
                           1  2 1
                       \  -¹  ³  ² /

1
0
0

2

и B =

1

-1

то можем считать, что матрица

B состоит из двух вектор-столбцов

1
0
0

b1

и b 2

                    2
                    1  . Тогда, умножая матрицу A на каждый из
                  -1

Матрицы п определители

вектор-столбцов, образующих В. получаем

3 • 1 + 1 • 0 + 1 • 0
1 • 1 + 2 • 0 + 1 • 0
-1 •  1 + 3 • 0 + 2 • 0 У

/
Ab 2 =

  1 • 2 + 0 • 1 + 2 • (-1) \
3 • 2 + 1 • 1 + 1 • (-1)
1 • 2 + 2 • 1 + 1 • (-1)
-1 • 2 + 3 • 1 + 2 • (-1) У

0
  6
  3
-1

1
3
и AB = (Ab1Ab₂) =      1

    \ ⁻¹


-1

Полностью вся операция записывается

следующим образом:

     /
AB =

-1

0 2 \
1 1
2 1
3 2 У

-1

/   1     0 \
    3   6
    1   3
-1 -1

/
Ab1 =

1

1 • 1 + 0 • 0 + 2 • 0 \

1   1 \



0

6

3

3

1

-1

/

1
0
0

2

1

\
)

Указанный результат молено получить также путем перемножения элементов матриц A и B (двигаясь при этом но горизонтали - вдоль i-й строки матрицы A и одновременно - вниз но j-му столбцу матрицы В) и сложения всех этих произведений между собой.
Сумма произведений соответствующих элементов образует ij-й элемент матрицы AB. Последовательно умножаем элементы второй строки матрицы A на элементы второго столбца В; сумма этих произведений равна 3 • 2 + 1 • 1 + 1 • (-1) = 6. Тогда элемент, стоящий во второй строке и во втором столбце матрицы, равен 6. Следовательно, i-й элемент первого столбца в произведении AB равен сумме произведений, полученных в результате умножения элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы первого столбца матрицы В, а i-й элемент второго столбца AB равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы второго столбца В.

Теперь молено дать определенно операции умножения матрицы на матрицу: ij-й элемент произведения AB двух матриц A и B равен сумме произведений, получаемых в результате умножения каждого элемента i-й строки матрицы A на соответствующий элемент j-ro столбца матрицы В. Из этого следует, что если i-я строка матрицы A записывается как ( ai 1 ai2 • • • ain ), &
j-й столбец записывается как ( b 1 j b₂j ... bₙj ) , то ij-й элемент AB n
представляет собой ai 1 b 1 j + ai2b2j +-+ a^j = (Г aiₖbₖj.
k=1

1.2.6. Примеры и замечания об умножении

а. Пусть A =

-1

матриц. 15 \
2 7   .
4 3/

Тогда элемент,

(

1

0
4

2
3

B = В =

0 6

1 1

2 4

Матрицы п определители

13

4 4 14       9 11
I 10 10 19 32

стоящий в произведении AB на пересечении первой строки и первого столбца, можно получить путем перемножения соответствующих элементов первой строки A и первого столбца B и сложения полученных величин: 1 • 0 + 0 • 1 + 2 • 2 = 4; элемент, стоящий на пересечении первой строки и второго столбца AB, равен 1 • 6 + 0 • 1 + 2 • 4 = 14; элемент, стоящий на пересечении второй строки и третьего столбца AB, составляет —1 • 1+4 • 2 + 3 • 4 = 19. После такого определения каждого из элементов,
находим матрицу A • B =


b. Определение произведения матриц AB имеет смысл только, если j-й столбец матрицы B (а следовательно, и все остальные ее столбцы) имеет то же число элементов, что и i-я строка матрицы A (а следовательно, и все остальные ее строки). Поскольку количество элементов в столбце матрицы равно числу строк в ней (а количество элементов в строке равно количеству столбцов), то в матрице B должно быть столько же строк, сколько столбцов содержит матрица A. Таким образом, произведение матриц AB определено только в том случае, если число столбцов в A равно числу строк в B. Отметим также, что произведение AB содержит то же количество строк, что и матрица A, и то же количество столбцов, что и матрица B.

Если число столбцов в A равно числу строк в B, то матрицы называются согласованными для умножения A на B, и AB содержит столько же строк, сколько их в матрице A, и такое же количество столбцов, что и в матрице

B. Следовательно, если
A - (mx n)-матрица, a B - (n xl)-матрица, т.е. A = (aij), где i = 1, 2,..., m и j = 1, 2,..., n, и B = (bij), где i = 1, 2,..., n и j = 1, 2,..., l, то произведение n
AB представляет собой (m x l)-матрицу, а ее ij-й элемент равен  aᵢₖbₖj.
к=1

Следовательно, можем записать AB 1, 2 ,...,l.

    n
= (12 aik bkj), где i = 1, 2 ,...,m и j = к=1

с. Если A =

AB, потому что

5)»b = (3 6 4).
содержит два столбца, a B

то существует произведение

— две строки:

(

1
3 A

        ло / 1 5 \ / 3 6 1 \   /13
        AB =Ь 0 J 1 2 2 4 ) = [ 9


16
18

²1).

Тогда AB является (2 x 3)-матрицей. Заметим, однако, что произведения BA не существует, так как B содержит три столбца, в то время как в A -только две строки.
Как уже отмечалось, для обозначения порядка матрицы молено пользоваться индексами (Am х ₙ). Тогда произведение AB может быть записано следующим образом: AmₓₙBₙₓₗ = Cₘₓi. Такая форма позволяет не только проверить, согласованы ли A и B для умножения, но и определить порядок их произведения.
d. Правило умножения более двух матриц выводится ио прямой аналогии из правил умножения двух матриц. Произведение ABC существует в том случае, если матрицы согласованы для умножения AB на С. Это условие выполняется тогда, когда в AB содержится столько же столбцов, сколько