Знакомство с миром случайностей

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 
 ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И.А. 
БУНИНА» 

К.Г. Лыкова 

ЗНАКОМСТВО  
С МИРОМ 
СЛУЧАЙНОСТЕЙ 

Учебное пособие 

2-е издание, стереотипное

Москва
Издательство «ФЛИНТА» 
2024

УДК 519.21(075.8)
ББК  22.171я73
         Л88

Лыкова К. Г.

    Знакомство с миром случайностей : учеб. пособие / К.Г. Лыкова. — 
2-е изд., стер. — Москва : ФЛИНТА, 2024. — 80 с. — ISBN 978-5-975-5469-6. 
— Текст : электронный.

Представленный в пособии материал подкрепляет школьный курс 
математики. Отличительной особенностью пособия является применение 
интерактивных моделей программы «1С: Математический конструктор», 
интерактивных таблиц и модулей «Вероятность в школе», Wolfram Alpha 
и др. цифровых средств при изложении основных вопросов стохастики и 
решении задач. 
Книга предназначена для школьников общеобразовательных школ, 
лицеев, гимназий и т.д., учителей математики, а также студентов среднего 
профессионального образования, студентов нематематических вузов. 

УДК 519.21(075.8)
ББК  22.171я73

ISBN 978-5-9765-5469-6 

© Елецкий государственный  
   университет им. И.А. Бунина, 2024 
© Лыкова К.Г., 2024
© Издательство «ФЛИНТА», 2024

Рецензенты: 
И.В. Китаева, кандидат педагогических наук, учитель математики 
МБОУ гимназии № 12 г. Липецк (Липецк);

О.В. Тарасова, доктор педагогических наук, профессор,  

директор института педагогики и психологии 
(Орловский государственный университет им. И.С. Тургенева, Орёл).

Л88

ВВЕДЕНИЕ 

Любое событие или явление можно рассматривать либо как 
случайное 
стечение 
обстоятельств, 
либо 
как 
закономерность. 
Детерминированный 
взгляд 
на 
окружающую 
действительность 
ограничивает наше мировосприятие. При более детальном изучении 
особенностей явлений каждый человек сталкивается с вероятностной 
закономерностью.  
Случайности, влияя на ход отдельных событий, поджидают нас на 
каждом шагу. Поэтому знание методов теории вероятностей помогает в 
интерпретации данных, точной оценке возможных рисков, принятии решений 
в условиях неопределенности, в выборе поведения для разрешения 
проблемной ситуации. 
В учебном пособии приведен основной теоретический материал 
изучаемых тем, включающий примеры решений с использованием различных 
интерактивных моделей динамических сред «1С: Математический 
конструктор», «Вероятность в школе», Wolfram Alpha, fxSolver. Большинство 
задач заимствовано из пособий П.С. Бондаренко, Я.С. Бродского, 
Н.Я. Виленкина, Р.С. Гутер, Н.Ш. Кремера, Ф. Мостеллера, С.В. Щербатых 
и др. 
Для каждой темы выявлены области применения еѐ элементов в 
различных дисциплинах, определены объекты и методы изучения. Каждая 
тема заканчивается небольшим фактом из биологии, химии, физики, медицины 
и др., подтверждающим актуальность рассматриваемого вопроса. 
Предлагаются задачи для самостоятельного решения.  
Пособие завершается приложениями, представленными основными 
вероятностно-статистическими таблицами, списком библиографии и 
списком электронных ресурсов. 
Учебное 
пособие 
предназначено 
для 
школьников 
общеобразовательных школ, лицеев, гимназий и т.д., учителей математики, 
а также студентов среднего профессионального образования, студентов 
нематематических вузов. 

ТЕМА 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТИ 

 

Области применения теории вероятностей. Астрономия: анализ 

расположения планет и созвездий, расчет орбит комет, определение типа 
орбит, расчет ее параметров и т.д. Биоинформатика: открытие последовательностей 
белков, нуклеиновых кислот и т.д. Биология: сложность 
строения биологических систем, расшифровка кода ДНК, теория наследственности 
Менделя, неопределенная изменчивость живых организмов, изменчивость 
наследования количественных признаков и т.д. Военное дело: расположение 
подразделений. Генетика: изучение порядка генов в хромосоме, выявление 
полимеров из мономеров, рассмотрение процесса расхождения нитей 
хромосом к полюсам.  География: составление карт: мирового океана, суши и 
т.д. Криптография: разработка методов шифрования. Лингвистика: исследование 
вариантов комбинаций букв. Медицина: применение достоверных 
методов оценки эффективности антибиотиков, инсулина, анестезии, искусственного 
кровообращения и т.д. Производство: особенности доставки товаров, 
рассмотрение вариантов их пересылки, теория автоматического 
управления, сокращение необходимого количества испытаний качества продукции, 
выявление бракованной продукции и т.д. Физика: изучение свойств 
кристаллов, описание моделей ферромагнетизма, случайное блуждание физических 
частиц, состояние разряженных систем и т.д. Физкультура: расчѐт 
количества игр между участниками. Химия: взаимосвязь формирования спирали 
периодической системы химических элементов, свойства окислительно-
восстановительных реакций, термодинамическая вероятность протекания 
химических реакций, столкновение частиц в протекании реакции пространственной 
ориентации и т.д.  Экономика: в банковском деле, страховании, в 
управлении рыночными и кредитными рисками, инвестициями, бизнес-
рисками, развитие нефинансовых приложений, связанных с угрозами здоровья, 
рисками аварий и экологических катастроф и т.д. 

 

1.1. Основные понятия  

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие 

опыт. Опытом (испытанием, экспериментом) называется реализация определенного 
комплекса условий, в результате которого происходят или не про-

исходят определѐнные события (факты). Результаты опыта называются исходами (
событиями). 

Комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация ко-

торых приводит к неоднозначности событий в ходе испытаний.  

Виды событий. Достоверные события – события, которые всегда про-

изойдут в результате испытания. Невозможные события – события, которые 
никогда не произойдут в результате испытания. Случайные события – это 
события, которые могут произойти или не произойти в результате испытания. 

События обозначаются заглавными латинскими буквами: А, В, С, …  
Пример.  M={вода в чайнике при t =100○ закипает} – достоверное со-

бытие; F={увидеть в зоопарке яванского тигра} – невозможное событие; 
N={выигрыш квартиры в лотерее} – случайное событие.  

События называются несовместными, если появление одного из них 

исключает появление других событий в одном и том же испытании. 

Если наступление одного из событий не опускает возможность наступ-

ления другого события, то такие события называются совместными. 

Пример. D = {в Саратове растет клѐн} и F = {в Сибири растет кедр}, 

Q = {Евгения получила грамоту за участие в конкурсе} и W = {Виктор получил 
диплом 1 степени} – совместные события; O = {на улице идет снег} и V = {на 
улице жарко} – несовместные события. 

Пример. При помощи канцелярской кнопки можно продемонстриро-

вать опыт с неравновозможными исходами (рис. 1).   

Рисунок 1. Опыт с канцелярскими кнопками 

 

Интересный факт. «Советский биолог А. А. Любищев полагал 

даже, что сходство растений и морозных узоров на окнах не случайно – в
обоих случаях проявляются определенные законы комбинирования частей 
в единое целое» [4].

1.2. Определения вероятностей  

1.2.1. Статистическое определение вероятности 

Рисунок 2. Частота и вероятность 

Известные математики Ж. Бюффон, Дж. Керрих, К. Пирсон незави-

симо друг от друга произвели тысячи испытаний с подбрасыванием монеты, 
в результате которых ими было получено число близкое к 0,5. Статистическую 
устойчивость можно смоделировать с помощью интерактивной 
модели «Монеты», осуществив серию опытов с минимальными затратами 
времени (рис. 3). 

Рисунок 3. Частота выпадения орла и решки 

 
Пример 1.2.1. Было проведено 192 эксперимента по подбрасыванию 

канцелярской кнопки. Определите приближенное значение вероятности 
того, что подброшенная упадет острием вверх. 

Решение. Обычная канцелярская кнопка отличается от монеты явной 

асимметрией. В связи с чем, исходы «Упасть остриѐм вверх» и «Упасть 
остриѐм вниз» являются равновозможными.  

Смоделировать эксперимент по подбрасыванию канцелярской кноп-

ки и падению еѐ «вверх» или «вниз» можно при помощи интерактивной 
модели «Кнопка» (рис. 4). 

В результате опытным путем было установлено, что частота падения 

кнопки «острием вниз» – n0 = 121, частота падения кнопки «острием 
вверх» – n1 = 71. 

Следовательно, вероятность падения канцелярской кнопки «острием 

вниз»: 
 Вероятность падения канцелярской кнопки 

«острием вверх»:  
  

Рисунок 4. Эксперимент с подбрасыванием кнопки 

Ответ: 0,63; 0,37. 
 
Задача 1.2.2. Брошен игральный кубик. Определите вероятность вы-

падения четверки при бросании кубика.  Установите, как изменяется частота 
с ростом числа опытов относительно еѐ вероятности?  

Решение.  Опыт с подбрасыванием игрального кубика может завер-

шиться одним из 6 равновозможных исходов. В результате фиксирования 
исходов для каждого опыта в таблице, мы сможем вычислить относительную 
частоту для каждого исхода, проследить, как изменяются частоты с 
увеличением количества опытов. 

Рисунок 5. Приближение частоты события к его вероятности 

Вероятность выпадения четверки при бросании кубика равна: 

 Произведя серию подбрасываний можно убедиться, что 

частота появления четверки от серии к серии (при постоянном числе испытаний, 
в данном случае в каждой серии 140 испытаний) случайным образом 
колеблется около вероятности данного события, т. е. около 17 (рис. 5). 
Таким образом, при увеличении числа испытаний частота появления случайного 
события приближается к его вероятности.  Ответ: 0,17.  

Задача 1.2.3. «Для проведения исследований на некотором поле взя-

ли случайную выборку из 400 колосьев пшеницы. Относительная частота 
колосьев, имеющих по 16 колосков в колосе, оказалась равной 0,25, а по 19 
колосков - 0,13. Найти для этой выборки частоты колосьев, имеющих по 16 
и по 19 колосков» [33]. 

Решение. Рассмотрим случайные события: А = {выбранный колос 

содержит16 колосков}, В = {выбранный колос содержит 19 колосков}. 

Требуется найти частоты n(A) и n(B). Относительная частота для со-

бытия А находится по формуле: 
 для события В: 
  

Всего было произведено 400 испытаний: n = 400, тогда 

 
 

Ответ:100; 52.  

 
Интересный 
факт. 
«Д. 
И. 
Менделеев 
для 
получения 

периодического закона химических элементов использовал комбинаторику: 
группировал друг с другом похожие элементы, подбирал сходные 
элементы с близкими атомными весами, тем самым получил из 
хаотичных элементов периодическую систему» [4].  

1.2.2. Классическое определение вероятности  

Если множество событий конечно, а исходы опыта – равновозмож-

ны, используется классическое определение вероятности.

События называются равновозможными, если несколько событий 

имеют одинаковую вероятность произойти.

Если наступление события А приводит к наступлению события В, то 

событие А называется благоприятствующим событию В.

Классическая вероятность события А равна отношению числа ис-

ходов, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу 

возможных исходов: 
N

A
N
A
P
)
(
)
(

, где 
)
(A
N
– число благоприятствующих 

событию А исходов; N – общее число возможных исходов. 

Пример 1.2.4. «Какова вероятность возникновения рецессивной дета-

ли в выборке из 6346 Х-хромосом, дрозофилы 8 содержат вновь возникшую 
рецессивную деталь» [1]? 

Решение. Пусть событие А = {возникновения рецессивной детали в 

одной Х-хромосоме}. Вероятность наступления события А равна:  

 

Ответ: 0,0013. 
Пример 1.2.5. «Для лечения некоторой хронической болезни приме-

няются 5 лекарств (а), (b), (с), (d), (e). Врач хочет провести сравнительное 
исследование 3 из этих 5 лекарств. Три исследуемых лекарства врач отбирает 
из данных пяти случайным образом. Чему равна вероятность того, что 
1) лекарство (а) будет исследовано; 2) будут исследованы лекарства (а) и 
(b); 3) будет исследовано по крайней мере одно из лекарств (а) и (b)» [19]? 

Решение. Для решения задачи составим таблицу с возможным набо-

ром лекарств. Все возможные исходы при этом пронумеруем.  

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

abc
abd
abe
acd
асе
ade
bed
bee
bde
cde

Вероятность любого из событий равна: 
 (10 наборов – 

равновозможны).  

1) Так как лекарство (а) встречается в 6 раз, соответственно, вероят-

ность исследования лекарства (а) равна: 
 

2) Лекарства (а) и (b) встречаются в таблице 3 раза, поэтому вероят-

ность исследования лекарств (а) и (b) равна: 
.