Высшая математика. Функции нескольких переменных и несобственные интегралы. Теория и задачи


А.А. Туганбаев





            ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА


ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Теория и задачи

Учебник







Москва Издательство «ФЛИНТА» 2019

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
     Т81











    Туганбаев А.А.
Т81            Высшая математика. Функции нескольких переменных и
     несобственные интегралы. Теория и задачи [Электронный ресурс] : учебник / А.А. Туганбаев. — М. : ФЛИНТА, 2019. — 120 с.

    ISBN 978-5-9765-4253-2

     Книга соответствует программам курсов высшей математики для студентов различных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий по важнейшим темам высшей математики: пределы, непрерывность и производные функций нескольких переменных, дифференциалы и частные производные высших порядков функций нескольких переменных, формула Тейлора и экстремумы для функций нескольких переменных, несобственные интегралы.
     Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших учебных заведений.

УДК 517(075.8)
                                                        ББК 22.161я73




ISBN 978-5-9765-4253-2

               © Туганбаев А.А., 2019
                                      © Издательство «ФЛИНТА», 2019

             Содержание

             1 Предел функции нескольких переменных                 4
               1.1 Подмножества арифметических пространств......... 4
               1.2 Предел функции нескольких переменных............ 7
               1.3 Непрерывные функции нескольких переменных.......13

             2 Производные функций
               нескольких переменных                               14
               2.1 Частные производные первого порядка ........... 14
               2.2 Дифференцируемость и полный дифференциал .......17
               2.3 Касательная плоскость и нормаль к поверхности...23
               2.4 Производные сложных функций ....................28
               2.5 Производные неявных функций.....................34

             3 Производные высших порядков
               и  формула Тейлора                                  45
               3.1 Производные высших порядков.....................45
               3.2 Дифференциалы высших порядков...................48
               3.3 Формула Тейлора.................................51

             4 Экстремумы функций
               нескольких переменных                               56
               4.1 Необходимые условия экстремума .................56
               4.2 Достаточные условия экстремума..................59
               4.3 Условный экстремум..............................63
               4.4 Наибольшее и наименьшее значения функции .......69

             5 Задачи о функциях нескольких переменных             76
               5.1 Задачи с краткими решениями.....................76
               5.2 Задачи с ответами...............................85
               5.3 Контрольные задания.............................89

             6 Несобственные интегралы                            108
               6.1 Интегралы с бесконечными пределами.............108
               6.2 Интегралы от неограниченных функций............114
               6.3 Задачи ........................................119

3

Предел функции нескольких переменных

               1.1  Подмножества арифметических пространств

               1.1.1. Пространство Rⁿ и расстояние между его точками.
               Множество всех наборов из n упорядоченных чисел x ₁ ,...,xₙ называется n-мерным арифметическим пространством Rⁿ; такие наборы называются точками из Rⁿ с координатами x 1 ,...,xₙ и обозначаются M(x 1;...; xₙ), а число n называется размерностью пространства Rⁿ.
               Отождествляя точки декартова трехмерного пространства Oxyz (со-отв., декартовой плоскости Oxyz-, числовой оси Ox) с наборами их декартовых координат x,y,z, можно считать, что R³ = Oxyz, R² = Oxy и R1 = Ox = R.
               Чаще всего мы будем рассматривать пространства R² и R³, поскольку случай n = 1 соответствует изучавшимся ранее функциям одного переменного у = f (x), а при n > 3 рассматриваемые нами понятия и рассуждения аналогичны им в случаях n = 2, 3.
               Для любых двух точек M (x 1;...; xₙ) и N (у 1;...; yₙ) из Rⁿ неотрицательное число р(у 1 — x 1)² + ... + (yₙ — xₙ)² обозначается р(M,N).
               Ясно, что р(M,N) = р(N,M), причелi точки M и N совпадают в точности тогда, когда р(M, N) = 0.
               1.1.2. Окрестности точек в Rⁿ, R² и R³. Пугсть д - число > 0, M (x 1;...; xₙ) е Rⁿ и д (M0) - множество всех точек M е Rⁿ, находящихся на расстоянии менее д от M0, т.е.
д(Mо) = {M(x 1;...; xn) е Rⁿ | p(у 1 — x 1)² + ... + (yn — xn)² < д}.

               Множество д(M0) называется д-окрестностью точки M0 или просто окрестностью точки M. Множество д(M0) = д(M₀) \ M₀, получаемое удалением точки M₀ из д(M0) называется проколотой д-окрестностью точки M0 точки M0. Окрестность д(M0) также называется открытым шаром радиуса д с центром в M0. Множество
{M(x 1;...; xn) е Rⁿ | p(y 1 — x 1)² + ... + (yn — xn)² = д}

               называется n-мерной сферой радиуса д с центром в M0; если к этой сфере добавить все точки из д(M0), то получитея замкнутый n-мерный шар радиуса д с центром в M0.
               В частном случае n = 2 (cooтв., n = 3) получаем, что д(M0) - это круг без граничной окружности (соотв., шар без граничной сферы) радиуса д с центром в M0, при чем д (M0) задается неравенством
               (x — xо)² + (y — yо)² < д² (cooТВ., (x — xо)² + (y — yо)² + (z — zо)² < д²),


4

                а проколотая 6-окрестности 6 (Mо) точки Mо задается неравенствами

               0 < (x-xо)²+(y-yо)² < 6² (соотв., 0 < (x-xо)²+(y-yо)²+(z-zо)² < 6²).


                Ниже на рисунках 1.1.2(1), 1.1.2(2) и 1.1.2(3) изображены 6-окрестности 6 (Mо) и ри n = 1, 2, 3, к которым добавлены граничные точки, окружность и сфера соответственно.

рис. 1.1.2(1)

рис. 1.1.2(2)

рис. 1.1.2(3)

              1.1.3. Открытые и замкнутые подмножества в R". Области.
              Пусть D - подмножество в R" и M - лежащая в D точка.
              Точка Mᵥₙ называется внутренней точкой множества D, если D целиком содержит некоторую окрестность точки M.
              Точка Mgᵣ называется граничной точкой множества D, если в любой ее окрестности в R" найдутся точки, как лежащие, так и не лежащие в D.




рис. 1.1.3

               Множество D называется открытым, если D целиком содержит некоторую окрестность любой своей точки M. Иными словами, открытые множества состоят только из своих внутренних точек.
               Множество D называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.


5

               Например, (открытый) круг {(x,y) | x² + у² < R² } и (замкнутый) круг {(x,y) | x² + у² < R²} с центроьi в точке (0;0) радиуса R являются соответственно открытым и замкнутым множествами в пространстве R². Первый круг не содержит никаких точек ограничивающей его окружности {(x,y) | x² + у² = R²}, а второй круг получается из первого добавлением всей ограничивающей его окружности.
               1.1.4. Связные и ограниченные множества и области в R".
               В общем случае непрерывной кривой в пространстве R" называется любое множество, определяемое параметрическими уравнениями

X1 = X 1( t) ,X 2 = X 2( t), . . . ,X" = X" (t),

               где x 1(t), x₂(t),..., X"(t) - непрерывные функции.
               Пусть D - подмножество в R".
               Множество D называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат множеству D.
               Например, в R² кольцо D 1 = {(x, у) 11 < x² + у² < 4} на рис. 1.1.4(1) -связное множество, а множество

D2 = {(x, у) | (x - 2)² + у² < 1} U {(x, у) | (x + 2)² + у² < 1}

               из двух кругов на рис. 1.1.4(2) не является связным. Если взять точку M 1 в одном круте. а точку M2 в другом, то их нельзя соединить непрерывной кривой, которая не выходила бы из множества D.


       рис. 1.1.4(1)                    рис. 1.1.4(2)

                Открытое связное множество называется открытой областью или просто областью. Область с присоединенными к ней всеми граничными точками называется замкнутой областью.


6

              Например, указанное выше множество D1 является областью, а множество D2 не является областью, так как оно не является связным.
              Множество D называется ограниченным в Rⁿ, если в Rⁿ существует какой-либо шар, содержащий D, т.е. если в Rⁿ существугет такая 6-окрестность какой-нибудь точки Mо, что D с 6(Mо).
              Рассмотренные выше множества D 1 и D 1 ограничены. Примерами неограниченных в R2 являются полуплоскость {(x, y) | у > 0} или вся плоскость R'2



             1.2 Предел функции нескольких переменных

             1.2.1. Определение функции нескольких переменных.
             Пусть D - подмножество в Rп, состоящее из точек M (x 1; x 2;...; xₙ). Отображение f: D ^ R, сопоставляющеe каждой точке M из D ровно одно число и, называется функцией n переменных с областью определения D = D (f) и пи шут и = f (x 1 ,x 2 ,...,xₙ) и ли и = f (M). Совокупность всех получаемых таким образом чисел и называется областью значений функции и = f (M). При n > 2 функции и = f (M) называются функциями нескольких переменных, или функциями н.п., или функциями многих переменных. При n =1 получаем изучавшиеся ранее функции у = f (x) (одной) и временной x.
             1.2.2. Функции более трех переменных.
             Заметим, что математический анализ функций нескольких переменных принципиально не отличается от математического анализа функции двух или трех переменных. Поэтому мы, в основном, рассматриваем только функции двух и трех переменных. В таких случаях часто пишут z = f (x, у) и ли и = f (x, у, z) вме сто z = f (x 1 ,x 2) или и = f (x 1, x2,x₃). При этом пары (x, у) и тройки (x, у, z) рассматриваются как точки M с декартовыми координатами на двумерной плоскости Oxy или в трехмерном пространстве Oxyz. Итак, функции f (x/у) или f (x/у, z) отображают точки M некоторого подмножества D плоскости Oxy или пространства Oxyz в числа. Например, объем V прямоугольного параллелепипеда со сторонами длины x, у и z является функцией и = f (x, у, z) = xyz, определенной на множестве D: x > 0, у > 0, z > 0.
             z.2.f. Графики функций двух переменных. Функции z = f (x, у) двух переменных наряду с аналитической формой записи (формулой) могут быть заданы таблично и графически, в виде поверхностей в трехмерном пространстве. Поверхность, определяемая уравнением z = f (x/у) называется графиком функции f (x, у). Значение функции в точке (x; у) выражается аппликатой z соответствующей точки графика

7

               (рис. 1.2.3). Для построения графика функции двух переменных, в некоторых случаях, возможно, использовать метод линий уровня, которые задаются условиями z = C, f (x, у) = C, где C G R.

                График функции дает наглядное представление о значениях функции в различных точках ее области определения.

рис. 1.2.3

               1.2.4. Пример. Построим график функции z = x² + у у².
               Ясно, что при C < 0 на графике z = f (x, у) нет точек. В плоскости C0 на графике имеется только точка O(0; 0; 0). При C =1 линия уровня x² + у² = 1 - это окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Поэтому пересечение графика z = f (x,y) с пл ос костью z = 1 - это окружность x² + у² = 1, поднятая на высоту 1. Пересечением графика с плоскостью z = 4 является окружность x² + у² = 4, z = 4 радиуса 2, и т.д. Если график z = x² + у² пересечь плоскостью x = 0, то получим параболу z = у² в плоскости yOz. График показан на рис. 1.2.4.

рис. 1.2.4

1.2.5. Пример. Найти область определения функции z = /1 - % - £.
    a    a²   b²

C В данном случае допустимы те значения переменных x и у, при ко-x² у²
торых выражение 1-----— — неотрицательно, т.е.
                     a ² b ²

8

    Х 2 y 2        X 2  y 2                   ₓ 2 y 2
1------ — — > 0 или — I — < 1. Так как кривая + + —у = 1 является
    a²  b²         a²   b²                    a²  b²
эллипсом, то искомые точки находятся внутри области, ограниченной

этим эллипсом (см. рис. 1.2.5). B

рис. 1.2.5


1.2.6. Пример. Найти область определения функции z = ln(y² — 4x+8). C Область определения функции z = ln(y² — 4x + 8) - множество всех таких точек (x; y), что y² — 4x + 8 > 0. Заметим, что y² =4x — 8 — парабола с вершиной в точке (2; 0). Так как 0² — 4 • 0 + 8 > 0, то точка (0;0) лежит в области определения. Точка (3; 0), наоборот, не входит в область определения, так как 0² — 4 • 3 + 8 < 0. А поскольку величина y² — 4x + 8 может менять знак только при проходе через 0, т.е. только в точках параболы, то y² — 4x + 8 < 0 всюду внутри параболы и > 0 всюду вне ее. Следовательно, область определения функции представляет собой часть плоскости, лежащая слева от параболы y² =4x — 8 (см. рис. 1.2.6). B

рис. 1.2.6

1.2.7. Поверхности уровня функции трех переменных.
Пусть D = {(x; y; z)} - некоторое множеств о точек пространства 0 xyz и

9

u = f (x, y, z) - функция треx переменных x, y, z, определенная на множестве D, где D - область определения функции f (x, y, z), а переменные x, y, z - аргументы функции f (x, y, z).
В качестве геометрической интерпретации функции f (x,y, z) трех переменных рассматривают поверхности уровня f (x,y, z) = C = const, на каждой из которых значения функции являются постоянными (но, в общем случае, различными на различных поверхностях).
1.2.8. Пример. Найти область определения функции
u = p R² — x² — y² — z² + p 2  2   2 —2 и ри R > r



x показать, что сферы x² + y² + z² = p² являются поверхностями уровня, и наименьшее значение функция имеет на сфере x² + y² + z² = R².
C Найдем сначала область определения


R² — x² — y² x² + y² + z²

— z² > 0
— r² > 0

                x x² + y² + z² < R²
ИЛИ ( x² + y² + z² > r²


Следовательно, областью определения функции является шаровой пояс r² < x² + y² + z² < R², ограниченный сферами радиусов r и R.
Очевидно, что при x² + y² + z² = p² = const значения функции
u = RR² — p² +          не изменяются. Таким образом, сферы x² +
                 p² — r²
y² + z² = p² и ри r < p < R являются поверхностями уровня функции

u = u(x, y, z). Рассмотрим функцию

и (p ) =           +       ¹
p² — r²

на полуинтервале (r, R].

Найдем наименьшее значение

( p ) =------— ,                  ¹
          p R² — p²        p (p² — r² )³

  I ¹                 ¹
p \ pR² — p² ⁺ p(p² — r²)³

При 0 < r < p < R производная u' (p) < 0, следовательно, функция u (p) при возрастании p убывает. Поэтому наименьшее значение функция u(p) имеет при p = R, т.е. на сфере x² + y² + z² = R².
1.2.9. Пределы функции нескольких переменных.
1. Предел во внутренней точке. Пусть функция н.п. f (M) определена хотя бы в некоторой проколотой окрестности точки M₀ G R".
Число A называется пределом функции f (M) и ри M ^ M₀, если для любого числа £ > 0 найдется такое число д > 0, что \f (M) — A| < £ для

10

всех M е 6(M₀).
В этом случае пишут ^lirr^_ f (M) = A.

Из определения предела функции нескольких переменных следует, что он не зависит от линии, по которой точка M приближается к M₀.
При n = 2 имеем M₀ = M₀(x₀; у₀) и вместо lim f (M) = A часто пи-
                                          M —>M" 0
шут lim f (M) = A. Для вычисления предела в этом случае часто пе-Х—Х0       ² * ⁴ * * * ' ' '
     У—У 0
реходят к полярным координатам р, 9, выбирая точку M₀(x₀ ,у₀) в качестве полюса полярной системы координат и направляя полярную ось параллельно оси Ox. Тогда x — x₀ = р cos 9, у — у₀ = р sin 9 и

lim
X ~^Х 0
У~У 0

f (x, у) = lim f (x0 + р cos 9, у0 + р sin 9). p—0

1.2.9(1)

Вычисление предела функции двух переменных x, у сводится к вычислению предела функции одного переменного р, причем если величина предела в правой части формулы (1.2.9(1)) окажется зависящей от 9, то это будет означать, что lim f (x,p) не существует.
        x             '    x^x 0 '   '
                           У "У 0

рис. 1.2.9(1)

рис. 1.2.9(2)

2. Предел в граничной точке. Пусть Mо - граничная точка области

определения D функции н.п. f (M). Тогда в каждой проколотой окрест-

ности точки M₀ есть хотя бы одна точка, в которой f (M) не определена.

Поэтому определение предела f (M) в точке M₀ слегка изменяется:

число A называется пределом функции f (M) пр и M ^ M₀, если для любого числа £ > 0 найдется такое число д > 0, что \f (M) — A| < £ для всех M е D П д(M0).

В этом случае пишут Mlin^ f (M) = A.

11