Математический анализ


К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
УЧЕБНИК
4-е издание, стереотипное
Под общей редакцией доктора экономических наук, профессора К.В. Балдина

Рекомендовано Редакционно-издательским советом Российской академии образования к использованию в качестве учебника






Москва Издательство «ФЛИНТА» 2020

УДК 519.6(075.8)
ББК 22.1я73
      Б20
Г л а в н ы й р е д а к т о р д-р псих. н., проф., акад. РАО Д.И. Фельдштейн З а м. г л а в н о г о р е д а к т о р а д-р псих. н., проф., акад. РАО С.К. Бондырева
Ч л е н ы р е д а к ц и о н н о й к о л л е г и и:
д-р псих. н., проф., акад. РАО Ш.А. Амонашвили; д-р пед. н., член-корр. РАО В.А. Болотов; д-р псих. н., проф., акад. РАО А.А. Деркач; д-р псих. н., проф., акад. РАО А.И. Донцов; д-р псих. н., проф., акад. РАО И.В. Дубровина;
      д-р псих. н., проф. В.П. Зинченко; д-р филол. н., проф., акад. РАО
В.Г. Костомаров; д-р пед. н., проф., акад. РАО Н.Н. Малофеев;
д-р физ.-мат. н., проф., акад. РАО В.Л. Матросов; д-р пед. н., проф., акад. РАО Н.Д. Никандров; д-р псих. н., проф., акад. РАО В.В. Рубцов;
д-р пед. н., проф., акад. РАО М.В. Рыжаков; д-р ист. н., проф. Э.В. Сайко
      Балдин К.В.
Б20       Математический анализ [Электронный ресурс]: учебник /
      К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев; под общ. ред. К.В. Балдина. - 4-е изд., стер. - М. : ФЛИНТА, 2020. - 361 с.
          ISBN 978-5-9765-2067-7

          Учебник содержит систематизированное изложение методологических основ математического анализа. В нем рассмотрены практически все аспекты дисциплины «Математический анализ». Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования и учебной программы по направлениям: «Экономика» и «Менеджмент». В учебник включены прикладные наработки авторов по математическому анализу, примеры использования классических методов и заданий для самостоятельной работы обучаемых.
          Для студентов гуманитарных направлений, аспирантов и преподавателей, а также научных сотрудников, предпринимателей, менеджеров и руководителей фирм.

УДК 519.6(075.8)
ББК 22.1я73





ISBN 978-5-9765-2067-7

                                            © К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев, 2015
© Издательство «ФЛИНТА», 2015

Оглавление



Введение...............................................5
1. ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ........................8
  1.1. Основы теории множеств..........................8
  1.2. Элементы комбинаторики.........................21
  1.3. Основы теории графов...........................25
  1.4. Некоторые сведения из математической логики....60
Вопросы для самопроверки..............................68

2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ..............69
  2.1. Матрицы, определители и их свойства............69
  2.2. Системы линейных алгебраических уравнений......86
  2.3. Собственные числа и собственные векторы матриц, квадратичные формы..................................95
  2.4. Некоторые сведения о векторах.................105
Вопросы ддя самопроверки.............................119

3. ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ.................................121
  3.1. Некоторые сведения о функциях.................121
  3.2. Предел последовательности. Предел функции. Вычисление пределов................................125
  3.3. Комплексные числа.............................140
Вопросы для самопроверки.............................145

4. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ...............146
  4.1. Производная первого порядка. Дифференциал. Производные высших порядков.........................146
  4.2. Некоторые сведения о функциях многих переменных. Понятие о частной производной.......................157
  4.3. Некоторые приложения дифференциального исчисления.168
     4.3.1. Формула Тейлора..............................168
     4.3.2. Правило Лопиталя.............................171
     4.3.3. Асимптоты....................................176
     4.3.4. Исследование функций с помощью производных
          первого и второго порядков и построение их графиков.. 180
     4.3.5. Экстремумы функций двух и многих аргументов..192
     4.3.6. Понятие о методе наименьших квадратов (МНК)..197
Вопросы для самопроверки.................................204

3

5. ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.................205
  5.1. Первообразная и неопределенный интеграл.........205
  5.2. Определенный интеграл...........................231
  5.3. Некоторые сведения о несобственных интегралах...241
  5.4. Приложения интегрального исчисления.............252
     5.4.1. Вычисление площадей плоских фигур..........252
     5.4.2. Вычисление длины дуги кривой.............260
     5.4.3. Вычисление объемов фигур вращения..........263
  5.5. Приближенное вычисление определенных интегралов.267
  5.6. Понятие о двойном интеграле.....................274
  5.7. Некоторые сведения о тройном интеграле..........283
Вопросы для самопроверки...............................294

6. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ...........................................296
  6.1. Основные понятия и определения..................296
  6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка......297
     6.2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными....................................298
     6.2.2. Однородные дифференциальные уравнения......303
     6.2.3. Линейные дифференциальные уравнения........306
     6.2.4. Уравнение Бернулли.........................310
     6.2.5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель........................312
  6.3. Дифференциальные уравнения второго порядка....316
     6.3.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами....................319
     6.3.2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью....323
  6.4. Понятие о системах обыкновенных дифференциальных уравнений..........................................330
Вопросы для самопроверки...............................339

7. РЯДЫ..............................................341
  7.1. Числовые ряды...................................341
  7.2. Функциональные ряды.............................346
  7.3. Степенные ряды..................................348
  7.4. Понятие о рядах Фурье...........................352
Вопросы для самопроверки.............................. 357
Литература.............................................358

4

Введение


    Математика проникла практически во все сферы человеческой деятельности. Это объясняется, во-первых, тем, что она способна создавать модели изучаемых явлений (математической моделью изучаемого явления называется логическая конструкция, которая отражает геометрические формы этого явления и количественные соотношения между его числовыми параметрами), а во-вторых, математика используется для обработки цифровых данных (как средство расчета).
    В настоящее время различные численные и аналитические методы используются не только в естественных, но и в гуманитарных науках, например в социологии, лингвистике, юриспруденции, экономике.
    С помощью математических методов можно более глубоко анализировать сложные экономические явления и процессы, а с другой стороны, проблемы экономики стимулируют разработку новых математических теорий. Например, необходимость решения задач экономического планирования привела к разработке теории линейного программирования в 30-х годах XX века [18]. Можно сделать вывод о том, что глубокое изучение экономических процессов и управление этими процессами невозможны без знания современного математического аппарата. Математическая подготовка современного специалиста в области экономики имеет свои специфические особенности, связанные со сложностью проведения финансово-экономических операций и принятия рациональных управленческих решений по ним.
    Как наука математика имеет определенное математическое мировоззрение, однако для специалистов в области экономики, менеджмента, психологии и юриспруденции математика является прежде всего мощным инструментарием при проведении необходимых расчетов и исследований, а также фундаментом, на котором строится современное здание высшего профессионального образования.
    Материал учебника представлен в виде семи глав и предназначен для студентов, обучающихся по направлениям бакавлари-ата «Менеджмент» и «Экономика».

5

    В первой главе «Основы дискретной математики» представлены основы теории множеств, введены элементы комбинаторики и основы теории графов, даны некоторые сведения о математической логике. Вторая глава «Элементы линейной и векторной алгебры» посвящена матрицам, векторам, определителям и их свойствам, а также действиям над ними. Приведены методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В третьей главе «Функции и пределы» дано определение функции, способы ее задания и основные свойства, а также числовой последовательности и предела. Рассмотрены признаки существования предела, первый и второй замечательный предел, дано понятие о комплексных числах. В четвертой главе «Основы дифференциального исчисления» кратко рассмотрены такие фундаментальные понятия, как производная, дифференциал, их геометрический смысл, дано понятие о функции многих переменных и о частных производных, а также приведены некоторые сведения о приложениях дифференциального исчисления (формула Тейлора, правило Лопиталя, исследование функции с помощью производной). В пятой главе «Элементы интегрального исчисления» раскрыто содержание интегрального исчисления, приведены определения и свойства неопределенного, определенного, несобственного и кратного интегралов, а также способы их вычисления. Рассматриваются приложения интегрального исчисления. Шестая глава «Некоторые сведения о дифференциальных уравнениях» написана на основе знаний, изложенных в предыдущих главах. В ней представлены обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядка, а также методы их решения. Особое место занимает решение линейных однородных и неоднородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Дано также понятие о решении систем дифференциальных уравнений. Седьмая глава «Ряды» посвящена исследованию числовых, функциональных и степенных рядов. Приведены также сведения по рядам Фурье.
    Представленный курс математического анализа охватывает большинство разделов, изучаемых студентами гуманитарных направлений вузов. При написании книги авторы придерживались

6

современных точек зрения на понятия, о которых идет речь, и не отступали от общепринятых взглядов. Авторы стремились изложить материал в доступной для студентов форме. При этом материал по дискретной математике, в частности по теории графов, будет полезен студентам, изучающим психологию, менеджмент и юриспруденцию. Однако авторы издания не претендуют на исчерпывающую широту охвата учебного материала из-за ограниченного объема книги.
   Вклад авторов в данное издание распределился следующим образом: К.В. Балдин — введение, гл. 1,2, В.Н. Башлыков — гл. 6,7, А.В. Рукосуев — гл. 3, 4, 5.

1. ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ


1.1. Основы теории множеств

   Понятие множества не определяется через другие понятия математики, т.е. оно является первичным. Появилось оно в конце XIX века в работах Г. Кантора (о сравнении мощностей множеств) [7, 10]. Г. Кантор определил множество как «объединение в одно целое объектов хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью». Разумеется, это определение не может рассматриваться как строгое математическое, которого, впрочем, не существует, так как понятие множества является исходным, на его основе строятся остальные понятия математики.
   Множество состоит из каких-то объектов. Например, существует множество натуральных чисел (N), множество всех звезд нашей Галактики, множество всех жителей РФ и т.д. Объекты, входящие в данное конкретное множество, являются его элементами. Различают конечные (состоящего из конечного числа элементов) и бесконечные множества.
   Множества будем обозначать заглавными буквами А, В, С, X,Y, Z, а их элементы — малыми буквами а, Ь, с,..., х, у, z. Тот факт, что элемент х принадлежит множеству X, обозначают так: х еX, а не принадлежит -xtX.
   Если все элементы множества Хявляются также элементами множества У, то множество X есть подмножество множества Y. Это записывается следующим образомХс У или УД X.
   Множество всех подмножеств множества У называется степенью этого множества и обозначается 2уили Д Y).
   Множества Хи Уявляются равными (состоят из одних и тех же элементов) Х= У, есл и Хс Уи Y<^X. Чтобы подчеркнуть тот факт, что рассматриваемое множество Хможет совпадать с множеством У (отношение быть подмножеством), записывают X с У или УэХ
   Вводится понятие пустого множества (0), которое не содержит ни одного элемента. Например, множество решений уравнения х² + 4 = 0 есть пустое множество Пустое множество является подмножеством любого множества.


8

Способы задания множеств


    а) Словесное описание.
    Например, множество Хесть множество всех прямых, проходящих через точку А плоскости а.
    б) Перечисление элементов, входящих в множество.
    Например, Х= {—7,0,12,123,700}. Элементы в приведенном списке могут располагаться в любом порядке и должны быть различны, т.е. множества Х= {5, 5,7} и У= {5, 7} равны между собой. Если во множестве есть совпадающие элементы, то его называют семейством Z = (5,9, 9,12,12,23) и заключают в круглые скобки.
    в) Описание свойств элементов, входящих в множество.
    Х={х|(х—3)(х—5) >0}, т.е. элементами множества X будут только те числа, которые удовлетворяют неравенству (х—3)(х—5) > 0.
    Если обозначить через Q(x) свойства элементов, входящих во множество X, то для задания этого множества в общем случае можно использовать следующую запись X={x|Q(x)}, т.е. множество X состоит из тех элементов х, которые удовлетворяют свойству Q(x). Множество, которое содержит все рассматриваемые в некоторой задаче множества, называется универсальным и обозначается U.
    Например, в качестве Цможно взять множество N(заметим, что в некоторых монографиях оно начинается не с единицы, а с нуля).
Z = {zeN\ Z< 6}, т.е. Z= {1, 2, 3, 4, 5}.
    Для сокращения записи в математике используют кванторы всеобщности, существования, существования и единственности:
    V — квантор всеобщности (перевернутая первая буква англ ийского слова АЛ);
    3 — квантор существования (перевернутая первая буква английского слова Exists);
    3! — квантор существования и единственности.
    Например, запись (V хе.Х) Р(х) означает: для всех х из множества Хсправедливо Р(х); запись (Зуе Y) R(y) — существует у из множества Утакое, что справедливо Р(у); запись (3!zeZ) M(z) — существует единственное z из множества Z такое, что справедливо M(z).


9

Операции над множествами


   Пусть задано универсальное множество U. Множество всех его подмножеств есть 2и. Заданы также множества Хи Y, причем Хе2ииУе2и.
   Дополнением множества Хназывается множество Хэлемен-тов множества U, которые не принадлежат X:
"Х = {х е' и\хе X}.
   Графически операции над множествами можно изображать с помощью кругов Эйлера (диаграмм Венна):



 U — изображается прямоугольником;
 X - круг;
 X — заштрихованная область прямоугол ьника.



   Пересечение (X П Y) двух множеств Хи Усостоитиз элементов, принадлежащих обоим этим множествам:
хПу= {ДхеХихеУ}.

    Объединение (X U Y) двух множеств Хи Усостоит из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Хи У:

10

   Разность (X\Y) двух множеств X и Y состоит из элементов, принадлежащих X, но не принадлежащих У:
Х\У={феХихё У}.

Аналогично определяется разность (Y\X) множеств Уи X У\Х={>е УиуёХ}.



   Симметрическая разность (ХЛУ) множеств Хи Усостоит из элементов, которые принадлежат ровно одному из множеств Хи У:
ХЛУ=(Х\У) и (У\Х) =(Х и Y) \ (X П Y).

и

A\Y

    Теперь рассмотрим конкретный числовой пример 1.1.
    Дано множество: Х= {-5, 0, 3, 17, 28, 33, 100}.
    У= {-7,0,5, 17,33, 108}.
    хП Y= {0,17,33}.
    X U Y= {-7, -5, 0, 3, 5, 17, 28, 33, 100, 108}.
    Х\У= {-5,3,28,100}.
    У\Х={—7,5,108}.
    ХАУ= {—7, -5, 3, 5, 28,100, 108}.



Мощность множеств

   Число элементов в конечном множестве Хназывают его мощностью и обозначают |х| или#Х
   Например, Х= {5, 12,23, 111}, | х| =4.
   Если известны мощности множеств X и У, то можно найти мощность их объединения по формуле

    |. XU у| = |Х| + |у|-|. хП у|.

   В общем случае имеем [7]:

    |х₍uX₂U”’UXJ=^ |-Х|-^ |ХП^| + Z, |-Х-П^ПхJ-...

   'o' ’о'        /       kj      J i<J<k      J
   Для подсчета элементов в конечных множествах можно использовать комбинаторику.
   Есл и между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то в них одинаковое количество элементов.
   Взаимная однозначность означает, что каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго и наоборот.

12