Математический анализ. Часть II

Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет

















МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧАСТЬ II

Учебное пособие



















Красноярск СФУ 2018

УДК 519.677(07)
ББК 22.161я73
     М340

Авторский коллектив:
        И. А. Антипова, И. И. Вайнштейн, Т. В. Зыкова, А. С. Кацунова,
И. Ф. Космидис, Т. О. Кочеткова, Т. В. Сидорова, В. С. Тутатчиков, И. М. Федотова, В. А. Шершнева

      Рецензенты:
      А. А. Родионов, доктор физико-математических наук, старший науч-

               ный сотрудник отдела дифференциальных уравнений механики Института вычислительного моделирования СО РАН;

      Л. В. Шкерина, доктор педагогических наук, профессор, заведующая

                кафедрой математического анализа и методики обучения математике в вузе Красноярского государственного педагогического университета им. В. П. Астафьева.







М340 Математический анализ. Часть II : учеб. пособие / И. А. Антипо-

       ва, И. И. Вайнштейн, Т. В. Зыкова [и др.]. - Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2018. - 188 с.

      ISBN 978-5-7638-3327-0


           Рассмотрены следующие темы: функции нескольких переменных, кратные интегралы, криволинейные интегралы, дифференциальные уравнения, теория рядов, векторный анализ, элементы теории функций комплексного переменного. Кроме теоретического материала, приведены основные формулы, используемые для решения задач, и подробно разобраны примеры.
           Предназначено для бакалавров направлений подготовки 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника», 09.03.02 «Информационные системы и технологии», 09.03.04 «Программная инженерия», 27.03.03 «Системный анализ и управление», 27.03.04 «Управление в технических системах», 15.03.04 «Автоматизация технологических процессов и производств».


                                                         УДК 519.677(07)
                                                         ББК 22.161я73


Электронный вариант издания см.: http:/catalog.sfu-kras.ru

ISBN 978-5-7638-3327-0

© Сибирский федеральный университет, 2018

                Оглавление





Модуль 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (ФНП)                           5
   1.1. Ограниченные и замкнутые множества.................... 5
   1.2. Задачи, приводящие к понятию функции нескольких переменных. Определения................... 7
   1.3. Предел и непрерывность функций нескольких переменных   9
   1.4. Частные производные. Геометрический смысл......... 11
   1.5. Дифференцируемость ФНП в точке.................... 14
   1.6. Геометрический смысл дифференциала ФНП.
       Дифференциалы высших порядков...................... 18
   1.7. Производная сложной функции....................... 21
   1.8. Производная неявной функции....................... 23
   1.9. Производная в данном направлении и градиент функции . 25
   1.10. Формула Тейлора для функций двух независимых переменных.......................................... 27
   1.11. Экстремумы ФНП...................................... 28
   1.12. Нахождение наибольших и наименьших значений ФНП . . 32
   1.13. Условный экстремум ФНП ............................. 33

Модуль 2. Кратные интегралы                                   36
   2.1. Определение и свойства двойного интеграла............ 36
   2.2. Вычисление двойных интегралов........................ 40
   2.3. Замена переменных в двойном интеграле. Полярные координаты................................. 47
   2.4. Приложения двойного интеграла........................ 51
   2.5. Тройной интеграл..................................... 61
   2.6. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты............. 65
   2.7. Приложения тройных интегралов ....................... 69

Модуль 3. Криволинейные интегралы                             74
   3.1. Криволинейные интегралы первого рода ................ 74
   3.2. Криволинейные интегралы второго рода ................ 80
   3.3. Формула Грина........................................ 88

Модуль 4. Дифференциальные уравнения                          93
   4.1. Основные определения и задачи........................ 93
   4.2. Дифференциальные уравнения первого порядка........... 94


3

   4.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными......................................... 96
   4.4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка 98
   4.5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли .............................. 100
   4.6. Уравнение в полных дифференциалах..............103
   4.7. Особые решения.................................105
   4.8. Дифференциальные уравнения второго и высших порядков 106
   4.9. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.............................................107
   4.10. Линейные дифференциальные уравнения...........110
   4.11. Линейно независимые решения линейного
       дифференциального уравнения. Определитель Вронского . 111
   4.12. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами......................................113
   4.13. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка..............................117
   4.14. Решение неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и специальной правой частью 118
   4.15. Нахождение частного решения методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)............122
   4.16. Нормальная система дифференциальных уравнений .... 125
   4.17. Решение однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами......................................128

Модуль 5. Ряды                                         131
   5.1. Числовые ряды..................................131
   5.2. Функциональные и степенные ряды................143
   5.3. Ряды Фурье.....................................156

Модуль 6. Векторное поле                               163
   6.1. Векторные линии................................163
   6.2. Поток векторного поля .........................164
   6.3. Дивергенция ...................................168
   6.4. Циркуляция и ротор.............................175

Модуль 7. Элементы ТФКП                                179
   7.1. Комплексные числа .............................179
   7.2. Формула Муавра. Формула Эйлера.................183
   7.3. Комплексные функции действительного аргумента .... 184

Библиографический список                               187


4

                Модуль 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (ФНП)




            1.1. Ограниченные и замкнутые множества


   Положение точки на прямой определяется однозначно одним числом, ее координатой. Существует, таким образом, взаимно однозначное соответствие между точками прямой и вещественными числами.
   Если ввести прямоугольную систему координат OXY Z в пространстве, то вместо тройки чисел x, y, z мы можем говорить о точке M пространства с координатами x,y,z (трехмерное пространство).
   Аналогично можно определить точку n-мерного пространства как упорядоченную последовательность из n вещественных чисел ( x 1, ..., хп ).
   Определение 1. Пространство, в котором расстояние между двумя точками A(x ₁ ,...,xₙ) и B(y ₁ ,...,yₙ) определяется равенством

d = (X(xi - yi)² + ... + (Xn - yn)2,
называется n -мерным евклидовым пространством и обозначается R или Rⁿ.
   Для характеристики множеств в пространствах любого числа измерений вводятся понятия открытости, связности, замкнутости, ограниченности и, наконец, понятие области. Приведем пояснения этих понятий на примере множества точек плоскости.
   Определение 2. Любой открытый круг, т. е. круг без окружности, радиуса д с центром в точке M0(xо,yо), называется д-окрестностью точки M0.
   Следовательно, окрестность точки M0 — это множество всех точек M с координатами (x,y), удовлетворяющих неравенству

(x - xо)² + (y - yо)² < д², .. |MMo| < д.
   Определение 3. Точка M Е G называется внутренней точкой множества G , если существует открытый круг с центром в этой точке, полностью принадлежащий G.
   Определение 4. Множество называется открытым, если все его точки внутренние.

5

   Определение 5. Множество называется связным, если любые его две точки могут быть соединены ломаной линией, все точки которой принадлежат данному множеству.

   Определение 6. Связное открытое множество называется областью.

   Определение 7. Граничной точкой множества называется точка, в любой окрестности которой есть точки как принадлежащие данному множеству, так и не принадлежащие ему. Совокупность всех граничных точек - граница этого множества.

   Пример 1. Границей круга является окружность.

   Определение 8. Замкнутой областью называется множество, состоящее из всех точек области и ее границы.

   Пример 2. А) Замкнутый круг — это круг вместе с его окружностью. Б) Пустое множество 0 есть множество открытое и замкнутое.

   Определение 9. Множество называется ограниченным, если можно указать такой круг, внутри которого расположены все точки данного множества.

   Пример 3. Все пространство Rₙ является неограниченным, но одновременно открытым и замкнутым множеством.
   Пример 4. Множество точек M(x 1 ,...,xₙ), определяемое неравенством

(xi - x 1)² + (x2 - x2)² + ... + (Xn — xП)² < r² ( < r²),

если Mo(x⁰,...,xП) есть фиксированная точка, ar— постоянное положительное число, образует замкнутый (или открытый) n-мерный шар радиуса r с центром в Mо.
   Другими словами, шар есть множество точек M, расстояние от которых до некоторой постоянной точки Mо не превосходит (или меньше) r.
   Очевидно, что этому шару при n = 2 отвечает к руг, а при n = 3 обыкновенный шар.

   Замечание 1. Открытый ш>> любого радиуса r > 0 с центром в mouxe Mо(x⁰, ...,x⁰ₙ) можно также рассматривать как окрестность этой точки.


6

            1.2. Задачи, приводящие к понятию функции нескольких переменных. Определения


   Как известно, если через х и у обозначить длины сторон прямоугольника, а через S — его площадь, то

S = х • у.                     (1.1)

При изменении х и у меняется и площадь S. В этом случае говорят, что площадь S есть функция двух переменных х, у, заданная формулой (1-1)-
   Аналогично, если х, у, z — длины ребер при вершине прямоугольного параллелепипеда, то его объем V вычисляется по формуле

V = х • у • z.                  (1.2)

Изменяя х, у, z в формуле (1.2), будем получать различные значения для V, т. е. V есть функция трех переменных х,у^, заданная формулой (1-2)-
   При изучении свойств нагретого тела температура его является обычно переменной величиной, зависящей от точки, в которой измеряется температура, и от момента времени, в который производится измерение. Обозначим через T измеряемую температуру, через M — точку, в которой измеряется температура, и через t — момент времени, в который измеряется температура. Тогда зависимость температуры T от переменной точки M и времени t обозначается следующим образом: T = f (M,t). В этом случае говорят, что температура есть функция точки M и времени t. Пусть точка M имеет координаты х,у^. Тогда зависимость температуры от координат точки и момента времени t обозначается так: T = f (х,у^ф), т. е. температура есть функция от четырех переменных х,у^ф. Эти переменные являются независимыми, они могут принимать любые допустимые значения. Переменная T является зависимой переменной, значения которой определяются значениями независимых переменных х,у^ф.
   Определения функций двух и трех переменных легко переносятся на случай любого числа переменных.

   Определение 10. Переменная и называется функцией n переменных x 1, x2,   ..., xₙ, если каждой системе n чисел
(x 1, x 2,..., x ₙ) из некоторог о множества D по определенному правилу или закону ставится в соответствие одно или несколько значений переменной и (эти значения составляют множество G).


7

Рис. 1.1

     При этом переменные x 1, x2, ...,xₙ называются независиыми переменными, или аргументами, а переменная и — зависимой переменной, или функцией (точнее многозначной,   если принимает
   несколько значений), а множество D — областью определения функции, множество G — областью изменения

  функции (или областью значений).


Обозначаются функции нескольких переменных (ФНП) так:

и = f (x 1, x ₂, ...,xₙ) = f (x) и ли и = и (x).

   Замечание 2. Нахождение области определения ФНП аналогично ее нахождению для функций одной переменной.


   Пример 5. Найти область определения следующих функций:
   а) z = ln⁽l + x - у²⁾; б) z = ₁П^——у2).
   РЕШЕНИЕ: а) так как логарифмическая функция определена только для положительного аргумента, то решение сводится к нахождению области значений x и у, удовлетворяют,их неравенству 1 + x — у² > 0, или у² < 1 + x. Построим на плоскости кривую у² = 1 + x (рис. 1.1). Это симметричная относительно оси ОХ парабола, ветви которой направлены вправо и вершина которой имеет координаты (-¹,0).
   Парабола у² = 1 + x разбила всю плоскость на две области: D 1 — "внутреннееть" параболы и D₂ — "внешность" параболы. Чтобы определить, какая из них является областью определения функции z = ln(1 + x — у²), возьмем произ вольную точку M и ее координаты подставим в у² < 1 + x. Если в результате получим верное неравенство, то и все точки области, содержащей M, будут удовлетворять этому

неравенству.
   Пусть M — точка с координатами (0,0). Тогда 0² < 1+0, или 0 < 1, — верное неравенство. Таким образом, D 1 является областью определения функции z = ln(1 + x — у²). Сама парабола в область


определения не входит, так как неравенство строгое;

Рис. 1.2

б)     найдем отдельно области определения функций z 1 = у/4x — у² и z₂ = ln(1 — x — у²) так, как это делалось в пункте а). Областью определения z1 является "внутренность" параболы 4x = у² и сама парабола. Функция z2 определена в

круге x² + у² < 1. Тогда областью определения функции z =

д/4 x—y ² 1n(1 — x ² —у ²)

8

является область D, изображенная на рис. 1.2, причем точка (0,0) в D не входит, поскольку знаменатель ln(1 — x² — у²) обращается там в нуль.
   Замечание 3. Изобразить функцию трех и более переменных с помощью графика нельзя. Для наглядного изучения функций трех переменных используются так называемые поверхности уровня функции.
   Определение 11. Поверхностью уровня функции u = f (x, y, z) называется геометрическое место точек пространства, в которых функция принимает одно и то же значение c. Уравнение поверхности уровня:

f⁽x,y,z) = c.
   Изменяя с, получаем различные поверхности уровня. По их

взаимному расположению можно судить функции.
   Пример 6. Для функции u(x, y,z) = Д уровня будут поверхности
x²  у²   z ²
Т ⁺ "9 ⁺ 16 = С,
т. е. эллипсоиды с полуосями 2Дс, 3Дс, 4Дс.

характере поведения

у² , z²   _ ... _ _
9У + |₍; поверхностями

+

   Определение 12. Линшхй zpoefa функции z = f (x,y) называется геометрическое место точек плоскости, в которых функция принимает одно и то же постоянное значение c . Ее уравнение имеет вид f ⁽Х,У) = c.
   Пример 7. Линиями уровня функции z =1 — x² — у² будут линии с уравнениями 1 — x² — у² = с, т. е. окружност и с радиусом Д1 — с, а при с = 0 окружность x² + у² = 1.
   Пример 8. Линии уровня — линии одинаковых температур (изотермы), линии равного давления (изобары) и т. д.
   Замечание 4. Далее мы будем, как правило, рассматривать функции лишь двух или трех переменных, имея в виду, что перенос определений и полученных результатов на функции большего числа переменных представляет собой лишь технические трудности.



            1.3. Предел и непрерывность функций нескольких переменных


  Определение 13. Функция f (x) = f (x 1 ,x₂,...,xₙ) имеет в точке
x⁰ = (x⁰,x0, ...,xП) предел, равный A, если она определена в некоторой

9

окрестности точки х⁰ за исключением, быть может, самой точки X⁰, и для любого е > 0 найдете я такое 6 > 0, что
\f ⁽x) - A| < Е
для всех х, удовлетворяющих неравенствам
0 < |х — х⁰1 <6.
   Записывается это так:
lim f (х) = lim f (х ₁ ,х2,...,хп) = A.
                 x -x⁰      xj -xj
                            j=1 ,...,n
Для двух переменных это можно записать как
lim f ⁽х,у) = A.
                           x^x о У 'У 0
   Замечание 5. Основные теоремы о пределах функций одной переменной справедливы и для функций двух и большего числа переменных (о пределе суммы, произведения и частного).
   Определение 14. Функция f (х) = f (х 1 ,х2,...,хп) называется хтпхерхтной в тохке x⁰(х 1 ,х2, ...,хП), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке х⁰, и если предел ее в точке х⁰ равен ее значению в ней:

                             lim f ⁽х) = f ⁽x) x^x ⁰

(предел функции в точке равен значению функции в этой точке).

   В случае двух переменных

                          lim f(х,у) = f(х⁰,у⁰). x^x о


У 'У 0

   Определение 15. Функция называется непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

   Пример 9. Найти предел функции

.. sin ху
lim-------


x^ 0

х

У ' 2

  РЕШЕНИЕ. Так как sin 2х ~ 2х при х ^ 0, ^йиху = lim 2х = 2. x ■0 х x -0 х У ' 2

10

   Пример 10. Найти точки разрыва функции

z =

xy + 1



2

.
- y

x

   РЕШЕНИЕ. Функция потеряет смысл, если знаменатель обратится в нуль. Но x² — у = 0 ил и y = x¹² — уравнение параболы. Следовательно, данная функция имеет линией разрыва параболу у = x².
   Пример 11. Доказать, что функция f (x,y) = ₓ—2 непрерывна в любой точке ее области определения.
   Доказательство. Данная функция определена во всех точках (x, y), кроме тех, у которых x² = y². Пусть (xо,yо) — некоторая точка из области определения функции, т. е. x0 = y0. Выберем произвольную последовательность точек {xₙ,yₙ} такую, что xn = y²ₙ и xₙ ^ x₀, yₙ ^ yо при n ^ ж, тогда по свойству предела последовательности имеем

lim f(xn,yn) = lim -x n^x            n^x x²
n

xₙ

yn²

x 0
22 x₀ — y₀

= f ⁽x о ,y о).

	

Следовательно, данная функция непрерывна в произвольной точке (xо,yо) из области определения.

   Замечание 6. Как и для функций одной переменной для функций нескольких переменных доказываются следующие утверждения:
   1)    сумма и произведение двух непрерывных в некоторой области G GyHKyuti шляются непрерывными в власти G функциями;
   G отношение двух непрерывных g области G функций является непрерывной функцией во всех gohkhx власти G, в которых знаменатель не обращается в нуль.



            1.4. Частные производные. Геометрический смысл



   Рассмотрим функцию z = f (x,y), определенную в некоторой окрестности точки Mо(xо, yо). При фиксированном значении переменной y, например y = yо, функция z = f (x,yо), очевидно, является уже функцией одной переменной x.

   Определение 16. Производная функции f (x,yо) по переменной x в точке (xо,yо) называется частиой производной по x от функции f (x,y) в точке (xо,yо):

df ⁽xо,yо) = lim f ⁽x,yо) - f ⁽xо,yо) dx        x^x о    x — x о


11

  Аналогично определяется производная функции f (x,y)        по
переменной y в точке (x₀,y₀):

df ⁽x 0 ,y 0) = ₗᵢₘ dy           y^y о

f⁽x0,y) - f⁽x0,y0)

y ⁻ y 0

Для частных производных по переменным x и y часто используются и другие обозначения:
           д! ⁽x 0 ,y 0) f,, .     df ⁽x 0 ,y0⁾ 0
---gx---= f ⁽x 0 ,y0⁾,   ----gy---= fy⁽x 0 ,y0⁾.

Коротко определение частных производных можно сформулировать так: f — это производиая по переменной x функции f (x,y) при фиксированной переменной y, a f0 - это производная по y функции f (x,y) при фиксированном x.
   Отсюда следует, что частные производные находятся по обычным правилам дифференцирования функции одной переменной. При дифференцировании, например, по переменной x переменную y следует считать постоянной.
  Пример 12. Если f (x,y) = x²y³, то
f = ⁽x² y³⁾ = =² xy³,    f = ⁽x² y³⁾ 'y = ³ x² y² ■
  Пример 13. Если z = x²y + x sin xy, to
|z = J— (x²y + x sin xy) = 2xy + tP- (x • sin xy) = 2xy + sin xy + xy cos xy;
./--J /VI .Z--J      '       .Z--J       '


Z^= =   (x²y + x sin xy) = x² + x² cos xy.
              oy oy
   Частные производные fₓ(x,y), fy(x,y) являются функциями двух переменных, поэтому для них также можно рассматривать частные производные.
   Определение 17. Частные производные от частных производных f и f называются частными производными второго порядка функции


f ⁽x,y).
   Функция порядка:

  f (x,y) имеет четыре частные производные второго


д ddf\ д ddf\      д ddf\ д ddf\
dx\dx J ’ дy \дx J ’ дx\дy J ’ дy \дy J '
Частные производные второго порядка обозначаются соответственно:
д ² f д ² f д ² f &f
дx² ’ дxдy’ дyдx’ дy²

12