Теория подобия нейтронно-кинетических процессов

 
 

 

 

ФГУП 
«Российский федеральный ядерный центр − ВНИИЭФ» 
 
 
 
 
 
Н. Б. Бабичев 
 
 
ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ 
НЕЙТРОННО-КИНЕТИЧЕСКИХ  
ПРОЦЕССОВ 

 
 
 
Монография 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2015 

 
 

 

 

УДК 539.125.523 
ББК 22.38 
        Б12 
 
 
Бабичев, Н. Б.  
Теория подобия нейтронно-кинетических процессов: Монография. Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2015, 218 с. 
 
ISBN  978-5-9515-0301-5 
 
Книга посвящена расчетно-теоретическим разработкам, которые про
водились начиная с 1972 года по сей день. 

Построена усовершенствованная теория подобия процессов нейтрон
ной кинетики, протекающих в однородных и профильных системах. 

Получены некоторые точные решения уравнения переноса нейтро
нов. В то же время большое внимание уделено поиску приближенных 
аналитических решений различных задач. 
Монография может быть использована в качестве учебного пособия 
для студентов, аспирантов и молодых специалистов-ядерщиков 
 
 
УДК 539.125.523 
ББК 22.38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN  978-5-9515-0301-5                       ©   ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2015 
 

Б12 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Предисловие .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  12 
 
Введение  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  14 
  
Глава 1. Односкоростное кинетическое уравнение и вытекающие  
               из него соотношения подобия процессов нейтронной  
               кинетики  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 16 
1.1. Общий вид исходного нестационарного односкоростного 
       кинетического уравнения для нейтронов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   16 
1.2. Соотношения подобия, полученные из односкоростного 
       уравнения переноса нейтронов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  17 
1.2.1. Частный случай подобных систем с постоянной плот- 
          ностью ρ = const  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  18 
1.2.2. Подобные системы с произвольным профилем плот- 
          ности вещества  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   20 
1.2.3. Произвольные по геометрии подобные системы  
          с разными, но не зависящими от координат  
          параметрами α и β  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  22 
1.2.4. Подобные системы с зависящими от координат  
          активностью и величинами α, β  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   23 
1.2.4.1. Подобные системы, в которых от координат  
             зависит только активность веществ  .  .  .  .  .  .  .  .   23 
1.2.4.2. Подобные объекты с параметрами α и β, зависящи- 
             ми от координат  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . .  .  .  24 
1.3. Элементы теории подобия нейтронной кинетики нестацио- 
       нарных однородных систем с произвольной геометрией  .  .  . 26 
1.3.1. Теорема подобия решений уравнения переноса нейтро- 
          нов в однородных нестационарных системах  .  .  .  .  .  .  . 26 
1.3.2. Формулы подобия  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  27 
 
Глава 2. Общее и частные решения задачи на главные собственные 
               значения (ГСЗ) и главные собственные функции (ГСФ), 
               полученные в односкоростном приближении для одно- 
               родных систем  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   30 
2.1. Общее решение задачи  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   30 
2.2. Приближенные формулы для ГСЗ, выражающие явные 
       зависимости Λ от βR и λ от различных параметров  .  .  .  .  .  . 31 

2.2.1. Приближенное решение задачи на ГСЗ, полученное  
          в диффузионном приближении  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 31 
2.2.1.1. Основные диффузионные соотношения и получен- 
             ные из них результаты, имеющие методическое 
             и практическое значение  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  32 
2.2.1.2. Новые формулы, выражающие явную зависимость 
             коэффициента диффузии от физических величин  .  .  35 
2.2.1.3. Область применимости теории диффузии  
             нейтронов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  36 
2.2.2. Приближенное решение задачи на ГСЗ, справедливое 
          в широком диапазоне изменения физических величин  .  .  . 38 
2.2.2.1. Формула В. П. Незнамова для λ однородных шаров, 
             выполненных из делящихся материалов  .  .  .  .  .  .  .  . 38 
2.2.2.2. Явный вид приближенной универсальной зависи- 
             мости Λ(βR)  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 40 
2.2.3. Приближенное решение задачи на ГСЗ, найденное для 
          однородных шаров из произвольных веществ, находя- 
          щихся в вырожденном или в близком к вырожденному 
          состоянии  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   40 
2.3. Некоторые теоретические и численные результаты  .  .  .  .  .   42 
2.3.1. Зависимости ГСЗ λ однородных систем с произволь- 
          ной активностью от оптической толщины  .  .  .  .  .  .  .  .  .  42 
2.3.1.1. Характерные качественные зависимости ГСЗ от 
             оптической толщины однородного объекта с произ- 
             вольными геометрией и активностью  .  .  .  .  .  .  .  .   42 
2.3.1.2. Зависимости λ однородного шара от его оптической 
             толщины и активности, полученные с помощью 
             аналитических вычислений и расчетов  .  .  .  .  .  .  .  .  46 
2.3.2. Приближенное аналитическое решение задачи на ГСФ, 
          справедливое в случае идеального поглотителя 
          нейтронов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   51 
2.3.2.1. Вывод приближенных формул для ГСФ  .  .  .  .  .  .  .  .  52 
2.3.2.2. Результаты численных расчетов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  53 
2.3.3. Ширина особой области (ОО) в пространственном  
          распределении нейтронов внутри однородных  
          активных шаров  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  55 
2.3.3.1. Приближенное аналитическое решение задачи на 
             ГСФ и ГСЗ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  57 
2.3.3.2. Уравнение баланса полного числа нейтронов  
             в системе  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   59 
 

2.3.3.3. Некоторые результаты аналитических вычислений 
             и численных расчетов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 60 
2.3.3.4. Ширина особой области (ОО)  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  60 
2.3.3.5. Изучение вопроса об областях применимости  
             полученных решений  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 63 
2.3.4. Явный графический вид универсальной функции 
          Λ(βR)  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  65 
2.3.5. Выводы и ряд замечаний  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  68 
 
Глава 3. Проблема Милна в теории переноса нейтронов  .  .  .  .  .  .  .  70 
3.1. Стационарная однообластная задача Милна с однородным 
       полубесконечным инертным (h = 1) веществом  .  .  .  .  .  .  .  . 71 
3.2. Точное решение однообластной нестационарной задачи 
       Милна, справедливое при любых значениях активности h 
       однородной среды  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  73 
3.2.1. Материалы теоретических исследований  .  .  .  .  .  .  .  .  .  73 
3.2.2. Результаты численных расчетов.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 74 
3.3. Поведение собственной функции вблизи границы  .  .  .  .  .  .  76 
3.4. Точные решения нестационарной двухобластной задачи 
       Милна  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 77 
3.4.1. Постановка задачи  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 77 
3.4.2. Решения, справедливые в случае надкритических  
          двухобластных систем из делящихся материалов  .  .  .  .  . 78 
3.4.3. Полное решение двухобластной задачи Милна  .  .  .  .  .  . 80 
3.5. Некоторые графические результаты, полученные из при- 
       ближенного аналитического решения однообластной 
       задачи Милна  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 81 
 
Глава 4. Оптически толстые подобные системы и поиск решений  
               кинетического уравнения за их пределами (в вакууме)  .  .  .  87 
4.1. Предельная теорема подобия, справедливая для однородных 
       систем с произвольной геометрией, и некоторые новые 
       результаты  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  87 
4.1.1. Формулировка теоремы  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 87 
4.1.2. Доказательство теоремы  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   87 
4.1.2.1. Доказательство на основе однородного кинетичес- 
             кого уравнения и основные выводы  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   87 
4.1.2.2. Второй способ доказательства предельной теоремы 
             подобия  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 89 
4.1.3. Формулы подобия  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  89 
4.2. Пространственное распределение нейтронов в вакууме  .  .  .  89 
4.3. Подведение итогов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 94 

Глава 5. Нестационарная задача Милна с постоянным объемным  
              источником нейтронов в полубесконечной инертной  
               среде (точное аналитическое решение кинетического  
               уравнения)  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   96 
5.1. Возможные типы решений неоднородного кинетического  
       уравнения в случае систем с предельно большой оптической  
       толщиной  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 96 
5.2. Решение нестационарной однообластной задачи Милна  
       с постоянным источником  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   97 
5.2.1. Теоретические результаты  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  97 
5.2.2. Результаты численного расчета  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   99 
 
Глава 6. Приближенные аналитические решения неоднородного  
               интегрального уравнения переноса нейтронов в опти- 
               чески тонких системах  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  101 
6.1. Создаваемые источником нейтронные поля внутри и за  
       пределами сферических систем  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  101 
6.1.1. Приближенные аналитические решения стационар-  
          ного интегрального уравнения переноса нейтронов  
          в однородных оптически тонких активных шарах  .  .  .  .  102 
6.1.1.1. Вывод формул  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   102 
6.1.1.2. Результаты аналитических вычислений и численных  
             расчетов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  108 
6.1.2. Некоторые решения нулевого порядка и численные  
          данные  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   108 
6.1.2.1. Приближенные формулы для нейтронной плот-  
             ности внутри оболочки  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  108 
6.1.2.2. Многообластные сферически-симметричные  
             системы  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   109 
6.1.3. Результаты аналитических вычислений  .  .  .  .  .  .  .  .  .   109 
6.2. Приближенное аналитическое решение задачи с постоян- 
       ным объемным источником нейтронов внутри оптически  
       тонкой пластины  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  111 
6.3. Нейтронные характеристики шара и оболочки, выпол- 
       ненных из чистого изотопа 238Pu (результаты численных  
       расчетов)   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  113 
6.3.1. Нейтронные характеристики шаров из 238Pu с радиу-  
          сами R = 0,07; 0,1; 0,13 см  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  114 
6.3.2. Результаты, полученные для оболочки из 238Pu  .  .  .  .  .  116 
 
 

Глава 7. Результаты исследований, основанных на однородных  
              спектральных уравнениях переноса нейтронов  .  .  .  .  .  .  .  118 
7.1. Точные формулы подобия, полученные из общего спек- 
       трального кинетического уравнения Больцмана  .  .  .  .  .  .  . 118 
7.1.1. Точное нестационарное спектральное уравнение  
          переноса нейтронов в профильных системах и выте- 
          кающие из него следствия  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  118 
7.1.1.1. Общая структура точного кинетического  
             уравнения  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  118 
7.1.1.2. Следствия, вытекающие из фундаментального 
             свойства инвариантности точного кинетического 
             уравнения по отношению к преобразованиям 
             подобия  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  120 
7.1.2. Формулы подобия  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  123 
7.1.2.1. Связь между пространственными распределениями 
             частиц в подобных нестационарных объектах с про- 
             филями плотности  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  123 
7.1.2.2. Формулы подобия для ГСФ, ГСЗ и вид общего 
             решения спектральной задачи на задачи на  
             ГСЗ λ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  123 
7.1.2.3. Доказательство теоремы подобия профильных 
             критических систем с произвольными ядерно-физи- 
             ческими свойствами  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  125 
7.2. Приближенные решения спектрального уравнения переноса 
       нейтронов в водородосодержащих однородных системах 
       с большой оптической толщиной  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  126 
7.2.1. Спектр быстрых и надтепловых нейтронов  .  .  .  .  .  .  .  127 
7.2.2. Спектр тепловых и эпитепловых нейтронов  .  .  .  .  .  .  .  131 
7.2.3. Определение ГСЗ λ и Кэф  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   135 
7.3. Некоторые результаты численных расчетов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  135 
 
Глава 8. Характеристики однородных и профильных систем,  
               в которых от координат зависит только активность  
               (новые результаты, полученные в односкоростном  
               приближении и из упрощенного спектрального  
               уравнения переноса нейтронов)  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  137 
8.1. Результаты, справедливые в односкоростном прибли- 
       жении  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  137 
8.1.1. Развитие процессов нейтронной кинетики во времени  .  . 138 
8.1.2. Исследования, выполненные с использованием свой- 
          ства инвариантности кинетического уравнения по  
          отношению к преобразованиям подобия  .  .  .  .  .  .  .  .  .  139 

8.1.2.1. Класс подобных профильных систем, найденный 
             из нестационарного уравнения переноса 
             нейтронов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   139 
8.1.2.2. ГСЗ и ГСФ подобных профильных систем  .  .  .  .  .   142 
8.2. Аналитические решения задачи на ГСЗ, полученные из 
       безразмерного односкоростного кинетического  
       уравнения  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  143 
8.2.1. Общее решение задачи на ГСЗ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  143 
8.2.2. Приближенные аналитические решения задачи на ГСЗ 
          явного вида  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  144 
8.3. Эволюция нейтронных процессов во времени  .  .  .  .  .  .  .  .  145 
8.3.1. Уравнение баланса полного количества нейтронов в 
          системе  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  146 
8.3.2. О синхронности выхода решений безразмерного  
          нестационарного кинетического уравнения на ГСФ 
          и ГСЗ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   146 
8.3.3. Приближенная формула подобия для логарифмических 
          производных и область ее применимости  .  .  .  .  .  .  .  .  147 
8.4. Метод нахождения приближенного решения упрощенного 
       спектрального уравнения переноса нейтронов в активных 
       профильных системах  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  148 
 
Глава 9. Обобщение результатов исследований, основные выводы  
               и замечания  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   152 
9.1. Исходное односкоростное кинетическое уравнение  .  .  .  .  .  152 
9.2. Безразмерные односкоростные уравнения переноса частиц 
       и формулы подобия для функций распределения нейтро- 
       нов в нестационарных профильных системах  .  .  .  .  .  .  .  .  153 
9.2.1. Интегродифференциальное безразмерное уравнение 
          переноса нейтронов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  153 
9.2.2. Дифференциальное уравнение для нейтронной плот- 
          ности и векторного потока нейтронов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  154 
9.2.3. Уравнение баланса полного количества нейтронов 
          в системе  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  154 
9.2.4. Вывод формулы подобия для функции распределения 
          нейтронов внутри нестационарных профильных 
          объектов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 155 
9.2.4.1. Частный случай объектов с подобной  
             геометрией  .  .  . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 156 
9.2.4.2. Формула подобия общего вида для функции распре- 
             деления нейтронов в нестационарных профильных 
             системах  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  156 

9.3. Общее решение задачи на ГСЗ и ГСФ, полученное в одно- 
       скоростном приближении на основе безразмерного урав- 
       нения переноса нейтронов в профильных системах  .  .  .  .  . 157 
9.3.1. Вывод основных общих формул  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  157 
9.3.2. Некоторые предельные решения задачи о критических 
          параметрах активных однородных и профильных 
          шаров  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  159 
9.4. Формулы подобия, имеющие место в односкоростном 
       приближении  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  161 
9.4.1. Формула подобия для ГСФ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  161 
9.4.2. Общая формула подобия для главных собственных 
          чисел уравнения переноса нейтронов в профильных 
          системах  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  161 
9.5. Решение упрощенного спектрального уравнения переноса 
       нейтронов в нестационарных профильных системах  .  .  .  .  162 
9.5.1. Основные результаты  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  162 
9.5.2. Упрощающие предположения, принятые для решения 
          односкоростных и спектральных задач  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  164 
9.6. Новые результаты аналитических исследований, обобщен- 
       ные на спектральный случай  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   165 
9.6.1. Общее решение задачи на ГСЗ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  165 
9.6.2. Частные решения задачи на ГСЗ для активных про- 
          фильных шаров, справедливые в диффузионном 
          приближении  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  165 
9.6.3. Модернизированные формулы В. П. Незнамова,  
          предназначенные для аналитических вычислений ГСЗ Λ 
          и λ профильных шаров из делящихся материалов  .  .  .   166 
9.6.4. Формулы подобия для ГСЗ и ГСФ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  166 
9.6.5. Некоторые замечания  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  167 
9.6.5.1. Замечание по поводу средних параметров, входящих 
             в полученные выше формулы  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  167 
9.6.5.2. О приближенном характере численных решений 
             упрощенного спектрального уравнения переноса 
             нейтронов в профильных системах  .  .  .  .  .  .  .  .  .   167 
 
Заключение  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 169 
 
Приложение А. Теорема Н. А. Дмитриева о сведении сфери- 
ческой задачи с постоянным пробегом нейтронов к плоской  
и ее применение  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  171 
А.1. Доказательство теоремы  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  171 

А.2. Один из простых примеров использования теоремы  
       Н. А. Дмитриева  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  172 
 
Приложение Б. Вывод приближенных формул для случая  
однородных шаров из произвольных материалов, находящихся  
в вырожденном и близком к вырожденному состояниях  .  .  .  .  .  .  173 
Б.1. Метод нахождения аналитических решений  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  173 
Б.2. Аналитические решения, имеющие место в случае вырожден- 
       ного ядра интегрального уравнения переноса нейтронов  .  .  .  .  .  .  176 
Б.2.1. Решения, справедливые внутри однородных шаров  .  .  .  .  .  .  176 
Б.2.2. Формулы, предназначенные для вычислений λ и Кэф  .  .  .  .  .  .  181 
Б.2.3. Поле нейтронов, вылетевших из шара  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  182 
Б.3. Аналитические решения внутри глубокоподкритичных шаров 
       из делящихся материалов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  184 
Б.3.1. Поле нейтронов внутри активного шара  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  184 
Б.3.2. Формулы для ГСЗ λ, полученные с использованием теории 
          возмущений  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  187 
Б.4. Некоторые графические результаты вычислений и численных 
       расчетов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  188 
 
Приложение В. Нейтронные характеристики однородных шаров  
из чистых (без примесей) изотопов 238Pu и 239Pu  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  190 
В.1. Результаты расчетов «Монте-Карло» и вычислений физических 
       величин по точным формулам подобия  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  190 
В.2. Результаты, полученные из односкоростного кинетического 
       уравнения  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 191 
В.2.1. Одногрупповые нейтронные константы 238Pu и 239Pu  .  .  .  .  .  .  191 
В.2.2. Некоторые решения задачи на ГСЗ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   192 
В.2.3. Определение погрешности решения одной из нестационарных 
           задач  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  193 
 
Приложение Г. Нейтронная кинетика двумерных и трехмерных 
систем из плутония-238 и плутония-239  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  196 
Г.1. Нейтронные характеристики однородного вытянутого  
       эллипсоида вращения из 239Pu  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  197 
Г.2. Результаты аналитических вычислений и численных расчетов, 
       полученные для 3D-систем из изотопов 239Pu и 238Pu  .  .  .  .  .  .  .  .  198 
Г.2.1. Однородный куб из 239Pu  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  198 
Г.2.2. Значения ГСЗ λ для профильных кубов из 239Pu, полученные 
          с помощью формулы подобия и расчетов на спектральных  
          константах ENDF B-6  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  198 

Г.3. Двухобластные кубы из 239Pu и 238Pu с профилем плотности 
       (решение односкоростных задач на ГСЗ и ГСФ)  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   200 
Г.3.1. Решение задачи на ГСЗ λ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  201 
Г.3.2. Решение задачи на ГСФ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  202 
 
Приложение Д. Приближенные аналитические решения  
однообластной задачи Милна с активностью среды h ≥ 1  .  .  .  .  .  .  205 
Д.1. Алгоритм поиска приближенных аналитических решений  .  .  .  .   205 
Д.2. Приближенные аналитические решения внутри среды  .  .  .  .  .  .   206 
Д.3. Приближенные аналитические решения, справедливые за  
        пределами полубесконечной однородной среды  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  208 
Д.4. О расходимости аналитических решений на плоской границе 
        между веществом и пустотой  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  209 
 
Приложение Е. Один из способов вывода формул для ГСЗ и ГСФ,  
справедливых в случае профильных гетерогенных систем  .  .  .  .  .  210 
 
Список литературы  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  212 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Николай Борисович Бабичев – главный научный сотрудник института теоретической и математической физики (ИТМФ) РФЯЦВНИИЭФ, доктор физико-математических наук, соавтор более 500 
научно-производственных отчетов. 
Закончив с отличием МИФИ и успев в соавторстве с Е. Д. Жижиным и Ю. П. Никитиным опубликовать статью в журнале «Письма 
в ЖЭТФ» на тему возникновения А1-резонанса при диссоциации 
релятивистского π мезона π → π + ρ на протоне мишени, в 1968 году Н. Б. Бабичев поступил на работу в теоретическое отделение 
ВНИИЭФ. 
Несмотря на свою привязанность к физике элементарных частиц и квантовой теории поля, Н. Б. Бабичев с полной отдачей стал 
заниматься расчетно-теоретическими работами по созданию и модернизации ядерных и термоядерных зарядов. 
За время работы он принимал непосредственное участие в натурных полигонных испытаниях новых образцов ядерных зарядов. 
К достижениям Н. Б. Бабичева можно отнести предложенные им 
заряды с предельно малыми количествами делящихся материалов, 
работоспособность которых подтверждена результатами измерений 
в нескольких успешно проведенных полномасштабных физических 
опытах. 
Начиная с 1974 года Н. Б. Бабичев стал читать лекции по физике 
высоких давлений и температур студентам кафедры теоретической 
ядерной физики МИФИ. Он быстро создал и внедрил в практику 
специализированный курс лекций по теории переноса нейтронов. 
Н. Б. Бабичев был также руководителем дипломных проектов 
(защитились 16 дипломников, причем все с оценкой «отлично»). 
Кроме того он воспитал и обучил целую плеяду молодых специалистов-ядерщиков. 
В настоящее время, продолжая осуществлять научное руководство по основной тематике одним из коллективов сотрудников 
ИТМФ, Н. Б. Бабичев не отошел от преподавательской деятельности 

и является профессором-совместителем теоретической кафедры 
НИЯУ «МИФИ». 
Научные интересы Н. Б. Бабичева лежат в области теории 
атомного и термоядерного взрыва, частный случай которой представляет тематика подготовленной им книги «Теория подобия нейтронно-кинетических процессов».  
Монография Н. Б. Бабичева будет являться хорошим учебным 
пособием для студентов старших курсов, аспирантов и молодых 
специалистов. 
 
Первый заместитель научного  
руководителя РФЯЦ-ВНИИЭФ 
член-корреспондент РАН  
  
                               В. П. Незнамов 

ВВЕДЕНИЕ 

 
Теория подобия процессов нейтронной кинетики полезна тем, 
что, располагая всего лишь одним решением кинетического уравнения, она позволяет определить характеристики бесконечного 
множества подобных систем. 
Аналитические соотношения подобия столь же точны, как 
уравнения переноса нейтронов, из которых они получены. Поэтому, применив формулы подобия, можно определить погрешность 
результатов численных расчетов и при необходимости уточнить 
постановку математических задач. 
К настоящему времени разработано большое количество разнообразных методов численного решения уравнения переноса нейтронов в различных системах.  
Вместе с тем, аналитические методы исследований по-прежнему высоко актуальны, так как они дают точные решения. Конечно, такие решения кинетического уравнения удается найти в редких случаях, но зато они, как и теория подобия, позволяют выявить 
общие закономерности нейтронной кинетики и осуществить верификацию математических методик. 
В книге наряду с детальной разработкой теории подобия большое внимание уделяется поиску новых точных и приближенных 
решений кинетического уравнения.  
Изложение материалов построено следующим образом: в главах 1–6 в односкоростном приближении получены соотношения 
подобия, а также найдены точные общие и приближенные частные 
решения задачи на собственные функции и собственные значения; 
в главе 7 исследования проведены на основе спектральных уравнений переноса нейтронов: из уравнения Больцмана получены точные формулы подобия для произвольных по геометрии объектов 
с профилями плотности ядер и найдены приближенные решения 
уравнения переноса нейтронов в однородных водородосодержащих 
системах с большой оптической толщиной; в главе 8, исходя из односкоростного кинетического уравнения, детально разработаны 

элементы теории подобия систем, в которых активность вещества 
зависит от координат, и обоснован приближенный метод решения 
спектрального уравнения переноса быстрых нейтронов в неоднородных средах; глава 9 посвящена усовершенствованию теории 
подобия процессов нейтронной кинетики и обобщению аналитических результатов, представленных в главах 1–8. 
Чтобы не утомлять читателя изобилием формул и численных 
данных, значительная часть материалов вынесена в приложения А – Е. 
В книге приведены исторические данные. Например, в главе 3 
подробно изложена история проблемы Милна в теории переноса 
нейтронов, возникшей в середине прошлого века и имевшей тогда 
огромное практическое значение. В параграфе 2.3.5 сделан краткий обзор результатов, полученных видными зарубежными учеными. В приложении А использована доказанная Н. А. Дмитриевым∗ в 1948 году теорема о сведении сферической задачи с постоянным пробегом к плоской. 
Кроме результатов различных работ (в этом случае везде даются ссылки на соответствующие литературные источники) в книге 
приводятся материалы расчетно-теоретических исследований, 
полученные автором монографии (при этом ссылки на его работы 
в большинстве случаев опущены). 
Ниже наряду с теоретическими материалами приводятся результаты численных расчетов по математическим методикам [1, 2]. 
Чтобы не делать многочисленных ссылок на работы [1, 2], далее приняты следующие упрощения: если расчеты ведутся по программе «Монте-Карло» [1], то об этом говорится напрямую, а методики [2], как правило, имеются в виду по умолчанию. 
 

                                                           
∗ Н. А. Дмитриев – выдающийся советский ученый, один из родоначальников развивавшейся в середине прошлого века теории ядерного 
взрыва, в частности, внесший существенный вклад в исследования стохастических процессов. Некоторые работы Н. А. Дмитреева представлены 
в сборнике «Избранные труды. Теоретическая физика, математика». – 
Саров: ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭ. 2004. Отмеченная выше теорема в этот 
сборник не включена. 

Глава 1. ОДНОСКОРОСТНОЕ КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 
И ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ НЕГО СООТНОШЕНИЯ ПОДОБИЯ 
ПРОЦЕССОВ НЕЙТРОННОЙ КИНЕТИКИ 

1.1. Общий вид исходного нестационарного односкоростного 
кинетического уравнения для нейтронов 

За основу примем следующее односкоростное уравнение переноса нейтронов в профильных системах (см. [3, 4]): 

(
)
(
)
( ) (
)
, ,
1
, ,
, ,
t r
t r
r
t r
V
t
r

∂ψ
Ω
∂
⎛
⎞
+ Ω
ψ
Ω + α
ψ
Ω =
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠

( )
(
)
, ,
,
4

r
d
t r
β
=
ωψ
ω
π ∫

                            (1.1) 

(
)
, ,
t r
ψ
Ω
– функция распределения нейтронов в момент времени t 

в фазовом пространстве векторов; 
,r Ω

, r– радиус-вектор точки 

наблюдения; 
V
V
Ω =
– единичный вектор, направленный вдоль век
тора скорости полета нейтрона V

, V
V
=

; 
(
)
(
)
, ,
,
d
t r
n t r
ωψ
ω =
∫

– 

зависимость нейтронной плотности времени и координат; 

(
)
Авогадро ( )
( )
( )
( )
i
si
fi
ci
i
i
i
i

N
r
r
r
r A

ρ
α
=
μ
σ
+ σ
+ σ
μ
∑
∑

и 
(
)
Авогадро ( )
( )
( )
( )
i
si
i
fi
i
i
i
i

N
r
r
r
r A

ρ
β
=
μ
σ
+ ν σ
μ
∑
∑

–  

это параметры, характеризующие ядерно-физические свойства вещества с плотностью ( ),
r
ρ состоящего из смеси компонентов с мас

совыми числами Аi и концентрациями по частицам 
( );
i r
μ σfi, σsi  
и σci – элементарные сечения деления ядер i-го сорта, рассеяния 
поглощения нейтронов; νi – среднее число вторичных нейтронов, 
испускаемых в одном акте деления i-го ядра; отношение 

( )
( )
( )
r
h r
r
β
= α

– активность профильной среды (при h < 1 – поглоти
тель нейтронов, h > 1 – активное вещество из делящихся материалов, h = 1 – инертная среда, представляющая собой идеальный рассеиватель нейтронов, у которого 
0,
s
σ ≠
 а 
0).
f
c
σ
= σ =
 

Введя профильные функции 
,
,
r
r
A
B
R
R
⎛
⎞
⎛
⎞
ξ =
ξ =
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

нормиро
ванные условиями 

( )
( )
1,
1,
d A
d B
d
d
d

ξ
ξ
ξ
ξ
=
=
ξ =
ξ
ξ
∫
∫
∫
∫
∫

(1.2) 

и средние по объему системы величины α  и ,
β  из (1.1) получаем 
нестационарное кинетическое уравнение 

(
)
(
)
( ) (
)
, ,
1
, ,
, ,
t r
t r
A
t r
V
t
r

∂ψ
Ω
∂
⎛
⎞
+ Ω
ψ
Ω + α
ξ ψ
Ω =
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠

( )
(
)
, ,
.
4

B
d
t r
β
ξ

=
ωψ
ω
π ∫

(1.3) 

 
1.2. Соотношения подобия, полученные из односкоростного 
уравнения переноса нейтронов 

Ниже представлены основные результаты работы [5]. 
Как наиболее простые, в первую очередь рассмотрим однородные по изотопному составу системы с постоянной плотностью.  
 
 
 

1.2.1. Частный случай подобных систем с постоянной  

плотностью ρ = const 

Пусть геометрическая форма системы произвольна, а плот
ность вещества и пропорциональные ей параметры 
0
0
,
ρ
α = α ρ
 

0
0

ρ
β = β ρ  
0
(ρ  – некоторая равновесная плотность материала) не 

зависят от координат. 
После интегрирования кинетического уравнения (1.1) по углам Ω
имеем: 

(
)
(
)
(
)
,
1
div
,
(
)
,
.
n t r
j t r
n t r
V
t

⎡∂
⎤
+
= β − α
⎢
⎥
∂
⎣
⎦

(1.4) 

Величина 
(
)
(
)
,
, ,
j t r
V d
t r
=
ΩΩψ
Ω
∫

называется векторным 

потоком нейтронов. 
Известно, что кинетическое уравнение для нейтронов (1.1) в случае систем с конечными размерами имеет решения на собственные значения λ0 > λ1 > λ2 >… и соответствующие им решения на 
собственные функции. Общим решением является суперпозиция 

(
)
(
)
, ,
,
.
m t
m
m
m
t r
a e
r
λ
ψ
Ω =
ψ
Ω
∑
Если 
0
0

1 ,
t
t
≥
>> λ
 то общее реше
ние становится чисто экспоненциальным.  
Постоянную величину λ = λ0 называют наибольшим (главным) 
собственным значением, 0t  – характерное время выхода решения 
на экспоненциальный закон 

(
)
(
)
, ,
,
,
t
t r
e
r
λ
ψ
Ω =
ψ
Ω

(1.5) 

(
)
( )
,
,
t
n t r
e
n r
λ
=
(
)
( )
,
.
t
j t r
e
j r
λ
=
(1.6) 

Подстановка (1.5) в нестационарное уравнение (1.1) приводит 
к следующему стационарному уравнению: 

(
)
(
)
( )
,
,
.
4
d
r
r
n r
dr
V
λ
β
⎛
⎞
⎛
⎞
Ω
ψ
Ω + α +
ψ
Ω =
⎜
⎟
⎜
⎟
π
⎝
⎠
⎝
⎠

(1.7)